La soustraction avec emprunt (retenue) expliquée simplement

La soustraction écrite avec emprunt (on dit aussi « avec retenue ») est une étape importante de la 2e et de la 3e primaire. C’est souvent la première technique de calcul qui pose vraiment problème. La clé : comprendre ce qu’on fait quand on « emprunte », au lieu d’appliquer un geste mécanique. Voici une méthode progressive, de la manipulation à la technique.

Avant tout : la numération

Pour comprendre l’emprunt, l’enfant doit savoir qu’une dizaine vaut 10 unités et qu’une centaine vaut 10 dizaines. Il doit aussi savoir décomposer un nombre : 52 = 5 dizaines et 2 unités, mais aussi 4 dizaines et 12 unités. C’est cette deuxième décomposition qui est au cœur de l’emprunt.

Si cette idée n’est pas acquise, prenez le temps de manipuler avec du matériel : bâtonnets regroupés par paquets de 10, cubes emboîtables, abaque ou matériel multibase.

Soustraire sans emprunt

Commencez par des soustractions où chaque chiffre du haut est plus grand que celui du bas : 58 − 23. On soustrait les unités (8 − 3 = 5), puis les dizaines (5 − 2 = 3). Résultat : 35. L’enfant doit être à l’aise avec ce cas avant de passer à l’emprunt.

Le problème : 52 − 27

On commence par les unités : 2 − 7. Impossible avec des nombres entiers positifs. Il faut donc aller chercher des unités ailleurs. C’est là qu’intervient l’échange.

Comprendre l’échange avec le matériel

On représente 52 avec 5 paquets de 10 bâtonnets et 2 bâtonnets seuls. On veut enlever 27, donc 7 bâtonnets seuls et 2 paquets. On n’a que 2 bâtonnets seuls : on défait un paquet de 10. On a maintenant 4 paquets et 12 bâtonnets seuls. On peut enlever 7 bâtonnets : il en reste 5. Puis on enlève 2 paquets sur 4 : il en reste 2. Résultat : 25.

Faites verbaliser l’enfant : « Je n’ai pas assez d’unités, alors je casse une dizaine en 10 unités. » C’est exactement ce que fait la technique écrite.

La technique de l’emprunt (méthode par échange)

• On pose l’opération en alignant unités sous unités, dizaines sous dizaines.
• Unités : 2 − 7 est impossible. On prend 1 dizaine aux 5 dizaines : on barre le 5 et on écrit 4 au-dessus.
• On ajoute 10 unités aux 2 unités : on écrit un petit 1 devant le 2, ce qui donne 12.
• 12 − 7 = 5. On écrit 5 dans la colonne des unités.
• Dizaines : 4 − 2 = 2. On écrit 2.
• Résultat : 25.

L’autre méthode : la compensation

Certaines écoles enseignent une autre technique, dite par compensation (ou « méthode traditionnelle »). On ajoute 10 unités au chiffre du haut, et pour compenser, on ajoute 1 dizaine au chiffre du bas dans la colonne suivante. Pour 52 − 27 : 12 − 7 = 5, puis 5 − (2 + 1) = 2. Le résultat est le même.

Soustraire avec plusieurs emprunts

Exemple : 634 − 278. Unités : 4 − 8 impossible, on échange une dizaine : 14 − 8 = 6, il reste 2 dizaines. Dizaines : 2 − 7 impossible, on échange une centaine : 12 − 7 = 5, il reste 5 centaines. Centaines : 5 − 2 = 3. Résultat : 356.

Le cas difficile : les zéros

Les soustractions comme 400 − 158 sont les plus redoutées. Unités : 0 − 8 impossible, mais il n’y a pas de dizaine à échanger. Il faut d’abord échanger une centaine contre 10 dizaines : il reste 3 centaines et on a 10 dizaines. Ensuite, on échange une dizaine contre 10 unités : il reste 9 dizaines et on a 10 unités. On calcule : 10 − 8 = 2, 9 − 5 = 4, 3 − 1 = 2. Résultat : 242.

Une astuce de calcul mental permet aussi d’éviter les zéros : 400 − 158 = 399 − 157 = 242. On retire 1 aux deux nombres, la différence ne change pas, et il n’y a plus aucun emprunt.

Vérifier son résultat

Une soustraction se vérifie par une addition : résultat + nombre soustrait = nombre de départ. 25 + 27 = 52. Ce réflexe permet à l’enfant de corriger seul la plupart de ses erreurs.

L’estimation aide aussi : 634 − 278, c’est environ 600 − 300 = 300. Un résultat de 456 ou de 56 doit alerter.

Les erreurs fréquentes

• Soustraire le plus petit du plus grand dans chaque colonne : pour 52 − 27, l’enfant calcule 7 − 2 = 5 et 5 − 2 = 3, et trouve 35. C’est l’erreur la plus courante.
• Oublier de barrer le chiffre emprunté et calculer 5 − 2 au lieu de 4 − 2.
• Mal aligner les chiffres quand les nombres n’ont pas la même longueur.
• Se perdre avec les zéros et emprunter dans la mauvaise colonne.

Une progression conseillée

• Soustractions sans emprunt à deux chiffres.
• Manipulation de l’échange avec matériel.
• Soustractions à deux chiffres avec un emprunt.
• Soustractions à trois chiffres avec un, puis deux emprunts.
• Soustractions avec zéros.
• Problèmes faisant intervenir des soustractions.

Exercices types

• Calcule : 73 − 48 ; 91 − 36 ; 60 − 27.
• Calcule : 542 − 317 ; 805 − 269 ; 1000 − 374.
• Trouve l’erreur : un élève a écrit 63 − 28 = 45. Explique ce qu’il a fait.
• Problème : un livre a 245 pages. Emma en a lu 168. Combien de pages lui reste-t-il à lire ?
• Calcule de tête en utilisant la compensation : 300 − 99 ; 500 − 198.

L’exercice « trouve l’erreur » est particulièrement utile : en analysant l’erreur d’un autre, l’enfant prend conscience de la sienne sans se sentir jugé.

Le lien avec le calcul mental

La technique écrite ne remplace pas le calcul mental. Pour 72 − 9, il est plus rapide de penser « 72 − 10 + 1 = 63 » que de poser l’opération. Encouragez l’enfant à se demander d’abord s’il peut calculer de tête. Notre article une routine de calcul mental propose des activités pour développer ces réflexes.

Questions fréquentes

En quelle année apprend-on la soustraction avec emprunt ?

Elle est généralement introduite en 2e primaire avec des nombres à deux chiffres, puis consolidée en 3e primaire avec des nombres à trois chiffres et les cas avec zéros.

Mon enfant utilise une autre méthode que la mienne, est-ce grave ?

Non, les deux méthodes donnent le bon résultat. Ce qui pose problème, c’est le mélange des deux. Suivez la méthode de l’école.

Faut-il apprendre la soustraction écrite ou le calcul mental d’abord ?

Le calcul mental vient d’abord, car il construit le sens du nombre. La technique écrite arrive quand les nombres deviennent trop grands pour être calculés de tête.

En résumé

Emprunter, c’est échanger une dizaine contre 10 unités, ou une centaine contre 10 dizaines. Avec la manipulation, cette idée devient évidente. Pour s’entraîner, voir les fiches calcul en 2e primaire et calcul en 3e primaire.