L’essentiel en bref
Dire « trois est un diviseur de douze » et « douze est un multiple de trois » décrit pourtant une même égalité : trois fois quatre font douze. Au CEB, l’objectif est de comprendre le lien, puis de l’utiliser dans une situation. Il n’est pas nécessaire de réciter une longue liste sans savoir ce qu’elle représente. Un produit, un partage exact et un dessin de groupes égaux peuvent se compléter.
Qu’est-ce qu’un multiple ?
Un multiple d’un nombre, c’est un résultat de sa table de multiplication. Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24… On les obtient en multipliant 4 par 0, 1, 2, 3, et ainsi de suite. Pour un entier strictement positif, la liste des multiples ne s’arrête jamais : il y en a une infinité. Zéro constitue un cas particulier : ses multiples valent tous zéro.
On peut dire : « 24 est un multiple de 4 » parce que 4 × 6 = 24. On peut aussi dire : « 24 est dans la table de 4 ».
Qu’est-ce qu’un diviseur ?
Un diviseur d’un nombre, c’est un nombre qui le divise « juste », sans reste. 4 est un diviseur de 24, car 24 : 4 = 6, reste 0. 5 n’est pas un diviseur de 24, car 24 : 5 = 4, reste 4.
Les diviseurs positifs d’un entier strictement positif sont en nombre limité. Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Les deux mots disent la même chose, dans les deux sens
Quand on écrit 4 × 6 = 24, on peut lire la même égalité de quatre façons :
24 est un multiple de 4.
24 est un multiple de 6.
4 est un diviseur de 24.
6 est un diviseur de 24.
Pour ne pas confondre, reviens à la multiplication : 4 × 6 = 24 montre que 24 est un multiple de 4 et que 4 divise 24. Évite une règle fondée seulement sur la taille : un nombre est aussi son propre multiple et son propre diviseur, et zéro est un multiple de tout entier.
Trouver tous les diviseurs d’un nombre
La méthode la plus sûre consiste à chercher les diviseurs par paires. Exemple avec 36 :
1 × 36 = 36 → 1 et 36
2 × 18 = 36 → 2 et 18
3 × 12 = 36 → 3 et 12
4 × 9 = 36 → 4 et 9
5 ? 36 : 5 ne tombe pas juste.
6 × 6 = 36 → 6
On s’arrête quand les deux nombres de la paire se rejoignent (ici 6 et 6). Les diviseurs de 36 sont donc : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. Ranger les paires dans un tableau à deux colonnes aide l’enfant à n’en oublier aucune.
Les nombres premiers
Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 7 est premier : il n’est divisible que par 1 et par 7. 9 n’est pas premier : il est aussi divisible par 3.
Les nombres premiers jusqu’à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Le nombre 1 n’est pas premier, car il n’a qu’un seul diviseur. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.
Une activité classique pour trouver les nombres premiers : sur un tableau de 1 à 100, on barre 1, puis tous les multiples de 2 (sauf 2), tous les multiples de 3 (sauf 3), de 5 et de 7. Les nombres qui restent sont premiers. L’enfant découvre ainsi pourquoi les multiples « s’éliminent ».
À quoi servent multiples et diviseurs ?
Simplifier une fraction : pour simplifier 12/18, on cherche un diviseur commun à 12 et 18 (ici 6) : 12/18 = 2/3.
Faire des partages : « Peut-on partager 24 bonbons entre 5 enfants sans reste ? » Non, car 5 n’est pas un diviseur de 24.
Faire des groupes : « Comment ranger 36 chaises en rangées égales ? » Les diviseurs de 36 donnent toutes les possibilités.
Trouver un moment commun : « Un bus passe toutes les 4 minutes, un autre toutes les 6 minutes. Quand passent-ils ensemble ? » On cherche un multiple commun : 12 minutes.
Les erreurs fréquentes
Inverser les mots : dire « 24 est un diviseur de 4 ». Rappeler la vérification : 24 ne divise pas 4 sans reste entier, tandis que 4 divise 24.
Oublier 1 et le nombre lui-même dans la liste des diviseurs.
Oublier un diviseur : la méthode des paires évite cet oubli.
Croire que 1 est premier.
Croire que tous les nombres impairs sont premiers : 9, 15, 21 ou 27 ne le sont pas.
Activités pour comprendre
Les rectangles de jetons : avec 12 jetons, construire tous les rectangles possibles (1 × 12, 2 × 6, 3 × 4). Chaque rectangle donne une paire de diviseurs.
Le jeu du « Fizz » : compter à tour de rôle et dire « Fizz » à chaque multiple de 3.
La chasse aux nombres premiers sur le tableau de 100, avec des couleurs.
Multiple commun et diviseur commun
En fin de primaire, on cherche parfois un nombre qui est multiple de deux nombres à la fois. Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24 ; ceux de 6 sont 6, 12, 18, 24. Les multiples communs sont 12, 24, 36… Le plus petit multiple commun strictement positif, 12, sert à trouver quand deux événements réguliers se reproduisent ensemble. À l’inverse, un diviseur commun divise deux nombres à la fois : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Le plus grand diviseur commun est 6 : c’est lui qui permet de simplifier 12/18 en une seule étape (2/3). Pour trouver ces nombres, la méthode la plus sûre reste d’écrire les deux listes l’une sous l’autre et d’entourer les nombres qui apparaissent dans les deux.
Les nombres pairs et impairs
Les nombres pairs sont les multiples de 2 : 0, 2, 4, 6, 8… Ils se terminent toujours par 0, 2, 4, 6 ou 8. Les nombres impairs ne sont pas divisibles par 2. C’est souvent la première rencontre de l’enfant avec la notion de multiple, dès la 1re et la 2e primaire, quand on compte de 2 en 2.
S’entraîner
Les multiples s’appuient sur les tables : la fiche les tables de multiplication (3e primaire) permet de les consolider. Les diviseurs s’appuient sur la division : voir la fiche la division (4e primaire). Pour aller plus vite, apprenez aussi les critères de divisibilité. Le jeu en ligne tables de multiplication est idéal pour réviser cinq minutes par jour.
Écrire la relation dans le bon sens
Pour tester si un nombre entier positif est un diviseur d’un autre, cherche une division sans reste. Pour trouver des multiples, multiplie le nombre de départ par des entiers. Les critères de divisibilité permettent parfois de vérifier rapidement une relation, mais ils ne remplacent pas la compréhension. Il faut aussi distinguer un diviseur commun et un multiple commun. Dans un problème de rangement, des paquets à composer exactement peuvent demander des diviseurs. Dans un problème de répétitions qui se rencontrent à nouveau, on peut chercher un multiple commun. La situation doit guider le choix.
Cinq exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver des multiples
Écris les cinq premiers multiples strictement positifs de six.
Correction : ce sont six, douze, dix-huit, vingt-quatre et trente. On obtient ces valeurs en multipliant six par un, deux, trois, quatre et cinq. Le mot « strictement positifs » explique pourquoi zéro n’est pas demandé ici. Zéro est pourtant un multiple de six, puisque six multiplié par zéro donne zéro. La précision de la consigne détermine donc la liste attendue.
Exercice 2 : Rechercher des diviseurs
Quels sont les diviseurs entiers positifs de dix-huit ?
Correction : ce sont un, deux, trois, six, neuf et dix-huit. On peut les trouver par couples de facteurs : un et dix-huit, deux et neuf, trois et six. Chaque couple donne un produit égal à dix-huit. Cette organisation permet de limiter les oublis. Quatre n’est pas un diviseur de dix-huit, car la division de dix-huit par quatre laisse un reste.
Exercice 3 : Utiliser un critère de divisibilité
Le nombre 246 est-il divisible par trois ? Justifie.
Correction : on additionne ses chiffres : deux plus quatre plus six donnent douze. Douze est divisible par trois, donc 246 l’est aussi. On peut vérifier avec la division : 246 partagé en trois donne quatre-vingt-deux, sans reste. Le critère permet de répondre rapidement. Il faut toutefois expliquer la règle utilisée plutôt que présenter la somme des chiffres comme si elle était elle-même le quotient recherché.
Exercice 4 : Chercher un diviseur commun
On possède vingt-quatre billes rouges et trente-six billes bleues. Peut-on constituer douze sachets identiques en utilisant toutes les billes ?
Correction : oui. Vingt-quatre partagé en douze donne deux billes rouges par sachet. Trente-six partagé en douze donne trois billes bleues par sachet. Chaque sachet contiendra donc deux rouges et trois bleues. Douze est un diviseur commun de vingt-quatre et trente-six. Il faut vérifier les deux couleurs ; une division exacte pour les seules billes rouges ne suffirait pas.
Exercice 5 : Retrouver une rencontre de répétitions
Deux signaux se produisent ensemble au départ. L’un se répète toutes les quatre minutes et l’autre toutes les six minutes. Après combien de minutes se reproduisent-ils ensemble pour la première fois ?
Correction : les multiples positifs de quatre sont quatre, huit, douze et ainsi de suite. Ceux de six sont six, douze, dix-huit. Le premier multiple commun positif est douze. Les signaux se retrouvent donc ensemble après douze minutes. Le départ commun correspond à zéro, mais la question demande la première rencontre après ce départ. Cette précision évite une réponse correcte mathématiquement mais inadaptée à la situation.
Questions fréquentes
Un diviseur est-il toujours plus petit que le nombre ?
Un diviseur entier positif d’un entier positif ne peut pas le dépasser, mais il peut lui être égal. Par exemple, douze divise douze. Le nombre un est également un diviseur de tout entier positif. Ces cas simples doivent être inclus lorsque la consigne demande tous les diviseurs positifs.
Zéro est-il un multiple ?
Oui, zéro est un multiple de tout entier, puisqu’un entier multiplié par zéro donne zéro. Dans les exercices, on demande parfois seulement les multiples positifs ou strictement positifs. Il faut lire cette précision. En revanche, on ne peut pas utiliser zéro comme diviseur dans une division.
Que signifie divisible sans reste ?
Cela signifie qu’un nombre de groupes entiers exactement adapté peut être formé. Par exemple, vingt objets se répartissent en cinq groupes de quatre sans objet restant. Le quotient est entier. Cette propriété permet de relier le vocabulaire « diviseur », « multiple » et « divisible » à une même situation de groupement.
Les critères de divisibilité suffisent-ils pour tout trouver ?
Ils permettent des vérifications rapides pour certains nombres, mais ils ne donnent pas automatiquement tous les diviseurs. Organiser les couples de facteurs reste utile. Pour un problème, explique aussi pourquoi tu recherches un diviseur ou un multiple : appliquer un critère juste ne garantit pas qu’on a choisi la bonne démarche.
Comment travailler avec un élève qui confond les mots ?
Écris une égalité simple, puis lis-la dans les deux sens. « Quatre fois cinq font vingt » permet de dire que vingt est multiple de quatre et que quatre divise vingt. Les groupes de jetons rendent le lien visible. Une seule relation bien comprise peut ensuite servir de modèle pour d’autres nombres.