Les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9 et 10 expliqués simplement
Un critère de divisibilité est une règle simple qui permet de savoir, sans poser la division, si un nombre est divisible par un autre. C’est très pratique pour simplifier une fraction, faire un partage ou vérifier un calcul. Ces règles sont travaillées en 4e, 5e et 6e primaire. Cet article présente chaque critère avec des exemples, puis des astuces pour les retenir et les erreurs à éviter.
Que veut dire « divisible » ?
Un nombre est divisible par un autre si la division tombe juste, c’est-à-dire sans reste. 35 est divisible par 5, car 35 : 5 = 7, reste 0. 35 n’est pas divisible par 3, car 35 : 3 = 11, reste 2. On dit aussi que 5 est un diviseur de 35.
Les critères qui regardent le dernier chiffre
Divisible par 2
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Ce sont les nombres pairs. 346 est divisible par 2 ; 347 ne l’est pas.
Divisible par 5
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. 1 235 et 480 sont divisibles par 5 ; 482 ne l’est pas.
Divisible par 10
Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0. 470 est divisible par 10 ; 475 ne l’est pas.
Divisible par 100
Un nombre est divisible par 100 s’il se termine par 00. 3 400 est divisible par 100.
Les critères qui regardent les deux derniers chiffres
Divisible par 4
Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Pour 1 324, on regarde 24 : 24 est dans la table de 4, donc 1 324 est divisible par 4. Pour 1 326, on regarde 26 : 26 n’est pas dans la table de 4, donc 1 326 ne l’est pas.
Divisible par 25
Un nombre est divisible par 25 s’il se termine par 00, 25, 50 ou 75. C’est logique : ce sont les montants possibles en pièces de 25 cents.
Les critères qui additionnent les chiffres
Divisible par 3
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 471 : 4 + 7 + 1 = 12. 12 est dans la table de 3, donc 471 est divisible par 3. Pour 472 : 4 + 7 + 2 = 13, pas divisible par 3.
Divisible par 9
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Pour 5 832 : 5 + 8 + 3 + 2 = 18. 18 est dans la table de 9, donc 5 832 est divisible par 9.
Si la somme est encore grande, on peut recommencer : pour 99 999, 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45, puis 4 + 5 = 9. Divisible par 9.
Et pour 6 ?
Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible à la fois par 2 et par 3. 312 est pair (divisible par 2) et 3 + 1 + 2 = 6 (divisible par 3) : il est donc divisible par 6.
Tableau récapitulatif
| Divisible par | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | se termine par 0, 2, 4, 6, 8 | 348 |
| 3 | somme des chiffres dans la table de 3 | 471 (12) |
| 4 | deux derniers chiffres dans la table de 4 | 1 324 (24) |
| 5 | se termine par 0 ou 5 | 1 235 |
| 6 | divisible par 2 et par 3 | 312 |
| 9 | somme des chiffres dans la table de 9 | 5 832 (18) |
| 10 | se termine par 0 | 470 |
| 25 | se termine par 00, 25, 50, 75 | 1 175 |
À quoi servent ces critères ?
- Simplifier une fraction : 15/45 ? Les deux nombres se terminent par 5, on divise par 5 : 3/9. Les deux sont dans la table de 3 : 1/3.
- Vérifier un calcul : si 3 × 157 donne 472, c’est faux, car un multiple de 3 doit avoir une somme de chiffres divisible par 3.
- Faire des partages : peut-on faire des équipes de 4 avec 132 élèves ? 32 est dans la table de 4 : oui.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer la règle de 3 au dernier chiffre : 13 se termine par 3 mais n’est pas divisible par 3.
- Appliquer la règle de 4 au dernier chiffre seul : 14 se termine par 4 mais n’est pas divisible par 4.
- Confondre les règles de 3 et de 9 : 12 est divisible par 3, mais pas par 9.
- Oublier que les deux conditions sont nécessaires pour 6.
Astuces pour retenir
- 2, 5, 10 : on regarde la fin du nombre.
- 4, 25, 100 : on regarde les deux derniers chiffres.
- 3 et 9 : on additionne tous les chiffres.
- Fabriquer une carte-mémoire avec ce découpage et la garder dans la trousse.
Pourquoi ces règles marchent
Les enfants retiennent mieux une règle quand ils comprennent d’où elle vient. Pour 2, 5 et 10, c’est simple : tout nombre s’écrit comme un certain nombre de dizaines plus les unités. Les dizaines sont toujours divisibles par 2, 5 et 10 ; il suffit donc de regarder les unités. Pour 4 et 25, on raisonne avec les centaines : 100 est divisible par 4 et par 25, donc seuls les deux derniers chiffres comptent. Pour 3 et 9, l’explication est plus subtile : 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1. Chaque dizaine, centaine ou millier « laisse » un reste de 1 quand on le divise par 9 (ou par 3). Le reste total est donc la somme des chiffres. Inutile de tout expliquer en 5e primaire, mais montrer l’exemple de 10 = 9 + 1 intrigue souvent les élèves curieux.
Un petit défi
Trouver le plus petit nombre de trois chiffres divisible à la fois par 2, 3 et 5. Il doit se terminer par 0 (divisible par 2 et 5) et la somme de ses chiffres doit être un multiple de 3. Réponse : 120.
S’entraîner
Les critères reposent sur les tables et la division : voir les fiches tables de multiplication et la division. Pour la simplification des fractions, voir la fiche fractions équivalentes (5e primaire). Un petit jeu à faire en famille : chacun propose un nombre, l’autre dit sans calculer par quels nombres il est divisible.
Questions fréquentes
Quel est le critère de divisibilité par 3 ?
La somme des chiffres doit être divisible par 3. Exemple : 471, car 4 + 7 + 1 = 12.
Comment savoir si un nombre est divisible par 4 ?
On regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres : s’il est dans la table de 4, le nombre est divisible par 4.
Existe-t-il un critère pour 7 ?
Il en existe, mais ils sont compliqués. En primaire, on pose simplement la division.
En quelle année apprend-on les critères de divisibilité ?
Le plus souvent en 5e et 6e primaire, parfois dès la 4e.