La proportionnalité en primaire : tableaux, règle de trois et problèmes
Combien coûtent 6 croissants si 4 croissants coûtent 4,80 € ? Pour répondre, l’élève utilise sans le savoir la proportionnalité. Cette notion est au programme de 5e et 6e primaire et revient très souvent au CEB, dans les problèmes de prix, de recettes, de vitesses, d’échelles et de pourcentages. Voici comment la comprendre et la maîtriser.
Qu’est-ce qu’une situation de proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité.
Exemple : un croissant coûte 1,20 €. 2 croissants coûtent 2,40 €, 5 croissants coûtent 6 €. On multiplie toujours le nombre de croissants par 1,20 pour obtenir le prix. Le prix est proportionnel au nombre de croissants.
Reconnaître une situation qui n’est pas proportionnelle
C’est une compétence aussi importante que le calcul. Beaucoup de situations de la vie courante ne sont pas proportionnelles :
- L’âge et la taille d’un enfant : à 5 ans, il ne mesure pas la moitié de sa taille à 10 ans.
- Un abonnement avec frais d’inscription : 10 € d’inscription puis 5 € par mois. Pour 2 mois, on paie 20 € ; pour 4 mois, 30 € et non 40 €.
- Une promotion « 3 pour le prix de 2 ».
Au CEB, certaines questions demandent justement de reconnaître qu’une situation n’est pas proportionnelle. Habituez l’élève à se demander : « Si je double la première quantité, est-ce que la deuxième double aussi ? »
Le tableau de proportionnalité
Le tableau est l’outil de base. On place une grandeur sur la première ligne et l’autre sur la deuxième.
| Nombre de croissants | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 1,20 | 2,40 | 4,80 | 7,20 | 12 |
Dans un tableau de proportionnalité, on peut compléter une case de plusieurs façons. L’élève choisit la plus simple selon les nombres.
Les quatre procédures à connaître
1. Le coefficient de proportionnalité
On cherche par combien multiplier la première ligne pour obtenir la deuxième. Ici, × 1,20. Pour 6 croissants : 6 × 1,20 = 7,20 €.
2. Les rapports internes (multiplier ou diviser une colonne)
Si 2 croissants coûtent 2,40 €, alors 4 croissants (le double) coûtent le double : 4,80 €. Et 10 croissants (5 fois plus que 2) coûtent 5 fois plus : 12 €. Cette procédure est souvent la plus naturelle pour les enfants.
3. L’addition de colonnes
6 croissants, c’est 4 croissants + 2 croissants. Le prix est donc 4,80 € + 2,40 € = 7,20 €. C’est une procédure très efficace en calcul mental.
4. Le passage à l’unité (règle de trois)
On calcule d’abord la valeur pour 1, puis pour la quantité demandée. 4 croissants coûtent 4,80 €, donc 1 croissant coûte 4,80 : 4 = 1,20 €, et 6 croissants coûtent 6 × 1,20 = 7,20 €. C’est la méthode la plus générale, qui fonctionne toujours.
La proportionnalité dans les recettes
Une recette de crêpes pour 4 personnes demande 250 g de farine, 4 œufs et 50 cl de lait. Pour 6 personnes, on multiplie chaque quantité par 1,5 (6 : 4) : 375 g de farine, 6 œufs, 75 cl de lait. Pour 2 personnes, on divise tout par 2. C’est une excellente activité à faire à la maison, qui donne du sens au calcul.
Les échelles : la proportionnalité sur les cartes et les plans
Une échelle de 1/100 signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm, soit 1 m, dans la réalité. Sur un plan à cette échelle, une chambre de 4 cm sur 3 cm mesure en réalité 4 m sur 3 m.
Sur une carte au 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m. Les échelles demandent donc aussi de bien maîtriser les conversions : voir notre article sur le tableau de conversion des mesures.
Les pourcentages, un cas particulier
Un pourcentage est une situation de proportionnalité où l’on rapporte tout à 100. Prendre 20 % de 50 €, c’est chercher la valeur qui correspond à 20 quand 100 correspond à 50 : 50 : 100 × 20 = 10 €. Voir les pourcentages en 6e primaire.
Les vitesses et les durées
Si un cycliste roule à vitesse constante et parcourt 15 km en 1 heure, il parcourt 30 km en 2 heures et 7,5 km en 30 minutes. La distance est proportionnelle à la durée, à condition que la vitesse ne change pas. Précisez toujours cette condition aux élèves.
Les erreurs fréquentes
- Ajouter au lieu de multiplier : « 2 croissants à 2,40 €, donc 4 croissants à 4,40 € ».
- Appliquer la proportionnalité à une situation qui ne l’est pas.
- Oublier les unités ou mélanger les unités (minutes et heures, cm et m).
- Se tromper de ligne dans le tableau.
Exercices types
- 5 cahiers coûtent 7,50 €. Combien coûtent 8 cahiers ?
- Une voiture consomme 6 litres pour 100 km. Combien consomme-t-elle pour 250 km ?
- Sur un plan au 1/50, une table mesure 3 cm. Quelle est sa longueur réelle ?
- Un pull coûte 40 €. Il est soldé à −30 %. Quel est son nouveau prix ?
- Un enfant mesure 1,20 m à 8 ans. Combien mesurera-t-il à 16 ans ? (Piège : pas proportionnel.)
Questions fréquentes
En quelle année étudie-t-on la proportionnalité ?
Les premières situations apparaissent dès la 3e et la 4e primaire avec des problèmes de prix simples. La proportionnalité est travaillée de façon plus explicite en 5e et 6e primaire, avec les tableaux, les échelles et les pourcentages, puis approfondie en secondaire.
Quelle est la différence entre la règle de trois et le passage à l’unité ?
Ce sont deux noms pour la même idée : on calcule d’abord la valeur correspondant à 1, puis on multiplie par la quantité demandée. En primaire, on parle plus volontiers de passage à l’unité, car l’expression décrit mieux ce que l’élève fait.
Faut-il apprendre le produit en croix en primaire ?
Le produit en croix est une technique de secondaire. En primaire, il est préférable que l’élève comprenne la situation et utilise des procédures qu’il peut expliquer : rapports internes, addition de colonnes, passage à l’unité. Une technique apprise sans compréhension est vite oubliée ou mal appliquée.
Comment savoir quelle procédure utiliser ?
Il faut regarder les nombres. Si une quantité est le double ou la moitié d’une autre, les rapports internes sont plus rapides. Si on peut décomposer la quantité (6 = 4 + 2), l’addition de colonnes est efficace. Quand les nombres ne se prêtent à rien de simple, le passage à l’unité fonctionne toujours.
La proportionnalité est-elle évaluée au CEB ?
Oui, très souvent, à travers des problèmes de prix, de recettes, d’échelles, de vitesses ou de pourcentages. Les questions demandent parfois aussi de reconnaître qu’une situation n’est pas proportionnelle.
En résumé
La proportionnalité se reconnaît au fait qu’on multiplie toujours par le même nombre. On la travaille avec un tableau et quatre procédures : coefficient, rapports internes, addition de colonnes et passage à l’unité. Elle sert ensuite pour les recettes, les échelles, les vitesses et les pourcentages. Pour s’entraîner, voir les fiches de calcul de 6e primaire et réviser le calcul pour le CEB.