La formule à retenir
L’aire d’un triangle se calcule ainsi : aire = base × hauteur : 2. La base est un des côtés du triangle ; la hauteur est la distance entre ce côté et le sommet opposé, mesurée perpendiculairement (en formant un angle droit). Pour un triangle de base 10 cm et de hauteur 6 cm : 10 × 6 : 2 = 30 cm². L’aire du triangle est travaillée surtout en 6e primaire, après l’aire du carré et du rectangle.
Pourquoi divise-t-on par 2 ?
Prenez une feuille rectangulaire et coupez-la en suivant une diagonale : vous obtenez deux triangles rectangles identiques. Chaque triangle a donc une aire égale à la moitié de celle du rectangle. Si le rectangle mesure 6 cm sur 4 cm (24 cm²), chaque triangle mesure 12 cm². C’est pour cela qu’on calcule base × hauteur (l’aire du rectangle) puis qu’on divise par 2. Faire cette expérience avec du papier vaut mieux que toutes les explications.
Et pour un triangle quelconque ?
Pour un triangle qui n’est pas rectangle, on trace sa hauteur depuis le sommet du haut : elle coupe le triangle en deux triangles rectangles. Chacun est la moitié d’un petit rectangle. En tout, le triangle est la moitié du grand rectangle qui l’entoure, de même base et de même hauteur. La formule reste donc la même : base × hauteur : 2. Lire aussi les triangles.
Trouver la hauteur
La hauteur est un segment qui part d’un sommet et arrive perpendiculairement sur le côté opposé (la base). On la trace avec une équerre. Attention : la hauteur n’est pas un côté du triangle, sauf dans le triangle rectangle. Dans un triangle obtusangle (avec un angle obtus), la hauteur peut même tomber à l’extérieur du triangle, sur le prolongement de la base.
Le cas du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : l’un peut servir de base et l’autre de hauteur. Pour un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm : 3 × 4 : 2 = 6 cm². C’est le cas le plus simple, idéal pour commencer.
N’importe quel côté peut être la base
On peut choisir n’importe quel côté comme base, à condition de prendre la hauteur qui lui correspond (celle qui part du sommet opposé). Le résultat est toujours le même. En pratique, on choisit le côté qui rend la hauteur la plus facile à mesurer, souvent le côté horizontal du dessin.
Les figures composées
Beaucoup de figures se découpent en rectangles et triangles. Une « maison » formée d’un rectangle de 8 m sur 5 m surmonté d’un toit triangulaire de base 8 m et de hauteur 3 m a une aire de 8 × 5 + 8 × 3 : 2 = 40 + 12 = 52 m². On découpe, on calcule chaque partie, puis on additionne. Lire aussi les unités d’aire.
Exercices corrigés
- Calcule l’aire d’un triangle de base 10 cm et de hauteur 6 cm.
- Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 3 cm et 4 cm. Quelle est son aire ?
- Base 8 cm, hauteur 5 cm : aire ?
- Une maison : rectangle de 8 m × 5 m et toit triangulaire de base 8 m et de hauteur 3 m. Aire totale ?
- Un triangle a une aire de 24 cm² et une base de 8 cm. Quelle est sa hauteur ?
Corrigé. 1. 30 cm². 2. 6 cm². 3. 20 cm². 4. 40 + 12 = 52 m². 5. 24 × 2 : 8 = 6 cm.
Les erreurs fréquentes
- Oublier de diviser par 2.
- Prendre un côté oblique à la place de la hauteur.
- Utiliser des mesures dans des unités différentes.
- Écrire l’aire en cm au lieu de cm².
- Choisir une hauteur qui ne correspond pas à la base choisie.
Un défi pour les plus forts
- Deux triangles ont la même base de 6 cm. L’un a une hauteur de 4 cm, l’autre de 8 cm. Compare leurs aires.
- Un carré de 10 cm de côté est coupé par une diagonale. Quelle est l’aire de chaque triangle ?
Corrigé. 1. 12 cm² et 24 cm² : le second a une aire double. 2. 50 cm².
Le saviez-vous ?
Tous les triangles qui ont la même base et la même hauteur ont la même aire, même s’ils ont des formes très différentes ! On peut le vérifier en dessinant plusieurs triangles entre deux droites parallèles, sur la même base : leurs sommets glissent, leur aire reste identique.
Le rôle des parents
Découpez ensemble des rectangles de papier en deux triangles et comparez. Cherchez des triangles dans la maison (un foulard plié, une part de pizza carrée coupée en diagonale, un panneau). Demandez à votre enfant d’expliquer pourquoi on divise par 2 : s’il sait l’expliquer, il a compris.
En résumé
Aire du triangle = base × hauteur : 2, car un triangle est la moitié d’un rectangle ; la hauteur est perpendiculaire à la base ; et l’aire s’exprime en unités carrées.
L’aire du triangle au quotidien
Calculer la surface d’un pignon de maison à peindre, d’une voile de bateau, d’un fanion ou d’une parcelle de jardin triangulaire : l’aire du triangle sert dans de nombreuses situations concrètes. Les architectes et les géomètres découpent d’ailleurs souvent les terrains irréguliers en triangles pour calculer leur surface.
Exercices supplémentaires
- Un fanion triangulaire a une base de 30 cm et une hauteur de 40 cm. Quelle est son aire ?
- Un triangle a une base de 12 m et une hauteur de 7 m. Aire ?
Corrigé. 1. 600 cm². 2. 42 m².
Un dernier conseil
Repérez toujours le petit carré de l’angle droit : il indique où est la hauteur.
Aire du triangle et CEB
Au CEB, l’aire du triangle apparaît souvent dans des figures composées (maison, drapeau, terrain). Lisez bien la figure, repérez les hauteurs et découpez en rectangles et triangles avant de calculer.
Un deuxième défi
- Un triangle et un rectangle ont la même base (8 cm) et la même hauteur (5 cm). Compare leurs aires.
Corrigé. Rectangle : 40 cm² ; triangle : 20 cm². Le triangle a la moitié de l’aire du rectangle.
Pour terminer
Retenez l’image du rectangle coupé en deux : elle permet de retrouver la formule à tout moment.
Pour aller plus loin
Lire aussi les triangles, périmètre et aire et aires et périmètres au CEB.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire du triangle ?
Aire = base × hauteur : 2.
Pourquoi divise-t-on par 2 ?
Parce qu’un triangle est la moitié d’un rectangle de même base et de même hauteur.
Qu’est-ce que la hauteur d’un triangle ?
Le segment qui part d’un sommet et arrive perpendiculairement sur le côté opposé.
Comment calculer l’aire d’un triangle rectangle ?
On multiplie les deux côtés de l’angle droit et on divise par 2.
En quelle unité s’exprime l’aire ?
En unités carrées : cm², m²…
Peut-on choisir n’importe quel côté comme base ?
Oui, à condition de prendre la hauteur correspondante.
Comment calculer l’aire d’une figure composée ?
On la découpe en rectangles et triangles, on calcule chaque aire, puis on additionne.
Un triangle peut-il avoir une hauteur à l’extérieur ?
Oui, dans un triangle obtusangle, la hauteur peut tomber sur le prolongement de la base.
Faut-il connaître la formule par cœur ?
C’est utile, mais comprendre qu’un triangle est la moitié d’un rectangle permet de la retrouver.