Qu’est-ce qu’un carré magique ?
Un carré magique est un tableau carré rempli de nombres, de sorte que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales soit toujours la même. Cette somme s’appelle la somme magique (ou constante magique). Le plus connu est le carré 3 × 3 qui utilise une seule fois chacun des nombres de 1 à 9. Les carrés magiques sont connus depuis l’Antiquité, notamment en Chine, et le peintre Albrecht Dürer en a même glissé un dans une gravure de 1514.
Le carré magique de 1 à 9
Voici le carré magique classique. Vérifiez : chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale donne 15.
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
Lignes : 2 + 7 + 6 = 15 ; 9 + 5 + 1 = 15 ; 4 + 3 + 8 = 15. Colonnes : 2 + 9 + 4 = 15 ; 7 + 5 + 3 = 15 ; 6 + 1 + 8 = 15. Diagonales : 2 + 5 + 8 = 15 ; 6 + 5 + 4 = 15.
Pourquoi la somme magique vaut-elle 15 ?
La somme des nombres de 1 à 9 vaut 45. Ces neuf nombres sont répartis sur trois lignes qui ont toutes la même somme : chaque ligne vaut donc 45 ÷ 3 = 15. Ce raisonnement est très formateur : on n’a pas besoin d’essayer au hasard pour connaître la somme magique, il suffit de calculer le total et de le partager. Pour un carré 4 × 4 avec les nombres de 1 à 16, le total est 136 et la somme magique 136 ÷ 4 = 34.
Pourquoi 5 est-il au centre ?
Dans le carré 3 × 3 de 1 à 9, le centre est toujours occupé par 5, le nombre du milieu. En effet, le centre appartient à quatre sommes (une ligne, une colonne et deux diagonales). On peut montrer qu’il doit valoir 15 ÷ 3 = 5. Les nombres opposés par rapport au centre forment toujours une paire de somme 10 : 2 et 8, 4 et 6, 7 et 3, 9 et 1. Ce sont les compléments à 10, bien connus des élèves ! Lire aussi les compléments à 10.
Compléter un carré magique : la méthode
Pour compléter une grille où il manque des nombres, on cherche d’abord une ligne, une colonne ou une diagonale où il ne manque qu’un seul nombre. On calcule alors le nombre manquant par soustraction : si la somme magique est 15 et que la ligne contient déjà 2 et 6, le nombre manquant vaut 15 − 2 − 6 = 7. On recommence avec les nouvelles informations, jusqu’à ce que la grille soit complète. C’est un excellent travail de calculs à trous. Lire aussi les calculs à trous.
Un exemple à compléter
La somme magique est 15. Complétez ce carré.
| 2 | 6 | |
| 5 | ||
| 4 | 8 |
Ligne du haut : 15 − 2 − 6 = 7. Colonne de gauche : 15 − 2 − 4 = 9. Colonne de droite : 15 − 6 − 8 = 1. Ligne du bas : 15 − 4 − 8 = 3. On retrouve le carré classique.
Trouver la somme magique d’une grille
Si la somme magique n’est pas donnée, on cherche une ligne, une colonne ou une diagonale complète et on additionne ses nombres. Cette somme vaut pour toutes les autres. Il est utile de vérifier avec une deuxième ligne complète, s’il y en a une, pour être sûr que la grille est bien magique. Cette vérification développe le réflexe de contrôler ses résultats.
Transformer un carré magique
Les carrés magiques ont des propriétés étonnantes. Si l’on ajoute le même nombre à toutes les cases, le carré reste magique : en ajoutant 10 au carré classique, on obtient les nombres de 11 à 19 et une somme magique de 45 (15 + 3 × 10). Si l’on multiplie toutes les cases par 2, on obtient un carré magique de somme 30. On peut aussi faire tourner le carré ou le retourner comme dans un miroir : il reste magique. Ces transformations entraînent le calcul et le raisonnement.
Des carrés magiques pour chaque année
En 1re et 2e primaire, on propose des carrés 3 × 3 avec de petits nombres et peu de cases vides, et on peut se limiter aux lignes et aux colonnes. En 3e et 4e primaire, on travaille avec les nombres de 1 à 9 complets, puis avec des nombres jusqu’à 100. En 5e et 6e primaire, on aborde les carrés 4 × 4, les carrés avec des nombres décimaux ou des fractions, et on cherche à en construire soi-même. Le même jeu s’adapte ainsi à tous les niveaux.
Inventer son propre carré magique
Une fois la méthode comprise, les élèves adorent créer leurs carrés. Une stratégie simple : partir du carré classique et le transformer (ajouter un nombre, multiplier, tourner). Les élèves plus avancés peuvent essayer de construire un carré 3 × 3 avec neuf nombres consécutifs, par exemple de 3 à 11 : le centre sera le nombre du milieu (7) et la somme magique 21. Ensuite, ils proposent leur grille trouée à un camarade.
Exercices corrigés
- Quelle est la somme des nombres de 1 à 9 ? Quelle est la somme magique du carré 3 × 3 ?
- Somme magique 15 : une ligne contient 8 et 1. Quel nombre manque ?
- On ajoute 5 à toutes les cases du carré classique. Quelle est la nouvelle somme magique ?
- Un carré 3 × 3 utilise les nombres de 3 à 11. Quel nombre est au centre ?
- Quelle est la somme magique d’un carré 4 × 4 avec les nombres de 1 à 16 ?
Corrigé. 1. 45 ; 15. 2. 6. 3. 30 (15 + 3 × 5). 4. 7. 5. 34.
Encouragez toujours la vérification de toutes les lignes, colonnes et diagonales.
Pourquoi c’est si utile
Compléter un carré magique oblige à faire de nombreux calculs mentaux, additions et soustractions, sans que l’enfant ait l’impression de faire une série d’exercices. Il développe aussi la stratégie (par où commencer ?), la persévérance et le contrôle. C’est une activité idéale pour les débuts de cours, les élèves rapides ou les moments de jeu en famille. Lire aussi les jeux de calcul mental en famille.
Les erreurs fréquentes
Les erreurs courantes sont : oublier de vérifier les diagonales, utiliser deux fois le même nombre alors que la consigne l’interdit, commencer par une ligne où il manque deux nombres et deviner au hasard, ou se tromper dans une soustraction. Apprendre à toujours commencer par la ligne la plus complète règle la plupart de ces difficultés.
En résumé
Un carré magique est une grille dont toutes les lignes, colonnes et diagonales ont la même somme. Pour le carré de 1 à 9, la somme magique est 15 et le centre vaut 5. On complète une grille en commençant par la ligne où il ne manque qu’un nombre, et on peut transformer un carré magique en ajoutant ou en multipliant. Un jeu simple pour un vrai entraînement au calcul.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un carré magique ?
Une grille de nombres où chaque ligne, colonne et diagonale a la même somme, appelée somme magique.
Quelle est la somme magique du carré de 1 à 9 ?
15, car la somme des nombres de 1 à 9 vaut 45 et 45 ÷ 3 = 15.
Quel nombre est au centre du carré magique de 1 à 9 ?
Toujours 5, le nombre du milieu.
Comment compléter un carré magique ?
On commence par une ligne, colonne ou diagonale où il ne manque qu’un nombre, et on le trouve par soustraction.
À partir de quel âge proposer des carrés magiques ?
Dès la 1re primaire avec de petits nombres et peu de cases vides.