Wat is een toverkwadraat?
Een toverkwadraat is een vierkant rooster gevuld met getallen, zodat de som van elke rij, elke kolom en de twee diagonalen altijd dezelfde is. Die som heet de toversom (of magische constante). Het bekendste is het 3 × 3 kwadraat dat elk getal van 1 tot 9 precies één keer gebruikt. Toverkwadraten zijn al sinds de oudheid bekend, onder meer in China, en de schilder Albrecht Dürer verwerkte er in 1514 zelfs een in een gravure.
Het toverkwadraat van 1 tot 9
Dit is het klassieke toverkwadraat. Controleer: elke rij, elke kolom en elke diagonaal geeft 15.
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
Rijen: 2 + 7 + 6 = 15; 9 + 5 + 1 = 15; 4 + 3 + 8 = 15. Kolommen: 2 + 9 + 4 = 15; 7 + 5 + 3 = 15; 6 + 1 + 8 = 15. Diagonalen: 2 + 5 + 8 = 15; 6 + 5 + 4 = 15.
Waarom is de toversom 15?
De som van de getallen 1 tot 9 is 45. Die negen getallen zijn verdeeld over drie rijen met dezelfde som: elke rij is dus 45 : 3 = 15. Die redenering is erg leerrijk: je hoeft niet op goed geluk te proberen om de toversom te kennen, je berekent het totaal en verdeelt het. Voor een 4 × 4 kwadraat met de getallen 1 tot 16 is het totaal 136 en de toversom 136 : 4 = 34.
Waarom staat 5 in het midden?
In het 3 × 3 kwadraat van 1 tot 9 staat in het midden altijd 5, het middelste getal. Het midden hoort bij vier sommen (een rij, een kolom en twee diagonalen). Je kunt aantonen dat het 15 : 3 = 5 moet zijn. De getallen die tegenover elkaar liggen ten opzichte van het midden vormen altijd een paar met som 10: 2 en 8, 4 en 6, 7 en 3, 9 en 1. Dat zijn de vriendjes van 10, die kinderen goed kennen! Lees ook de vriendjes van 10.
Een toverkwadraat aanvullen: de werkwijze
Om een rooster met ontbrekende getallen aan te vullen, zoek je eerst een rij, kolom of diagonaal waar maar één getal ontbreekt. Dat getal bereken je met een aftrekking: is de toversom 15 en staan er al 2 en 6 in de rij, dan is het ontbrekende getal 15 − 2 − 6 = 7. Herhaal met de nieuwe gegevens tot het rooster vol is. Dat is uitstekend werk met sommen met een open plaats. Lees ook sommen met een open plaats.
Een voorbeeld om aan te vullen
De toversom is 15. Vul dit kwadraat aan.
| 2 | 6 | |
| 5 | ||
| 4 | 8 |
Bovenste rij: 15 − 2 − 6 = 7. Linkerkolom: 15 − 2 − 4 = 9. Rechterkolom: 15 − 6 − 8 = 1. Onderste rij: 15 − 4 − 8 = 3. Je vindt het klassieke kwadraat terug.
De toversom van een rooster vinden
Is de toversom niet gegeven, zoek dan een volledige rij, kolom of diagonaal en tel de getallen op. Die som geldt voor alle andere. Controleer met een tweede volledige rij, als die er is, om zeker te zijn dat het rooster echt magisch is. Die controle ontwikkelt de reflex om resultaten na te kijken.
Een toverkwadraat veranderen
Toverkwadraten hebben verrassende eigenschappen. Tel je bij elk vakje hetzelfde getal op, dan blijft het kwadraat magisch: tel je 10 op bij het klassieke kwadraat, dan krijg je de getallen 11 tot 19 en een toversom van 45 (15 + 3 × 10). Vermenigvuldig je alle vakjes met 2, dan krijg je een toverkwadraat met som 30. Je kunt het kwadraat ook draaien of spiegelen: het blijft magisch. Die veranderingen trainen rekenen en redeneren.
Toverkwadraten voor elk leerjaar
In het 1e en 2e leerjaar geef je 3 × 3 kwadraten met kleine getallen en weinig lege vakjes, en je kunt je beperken tot rijen en kolommen. In het 3e en 4e leerjaar werk je met alle getallen van 1 tot 9, daarna met getallen tot 100. In het 5e en 6e leerjaar komen 4 × 4 kwadraten, kwadraten met kommagetallen of breuken, en zoek je er zelf te maken. Hetzelfde spel past zo bij elk niveau.
Zelf een toverkwadraat maken
Zodra de werkwijze duidelijk is, vinden leerlingen het geweldig om eigen kwadraten te maken. Een eenvoudige strategie: vertrek van het klassieke kwadraat en verander het (een getal optellen, vermenigvuldigen, draaien). Sterkere leerlingen kunnen een 3 × 3 kwadraat proberen te maken met negen opeenvolgende getallen, bijvoorbeeld van 3 tot 11: in het midden komt het middelste getal (7) en de toversom is 21. Daarna geven ze hun rooster met gaten aan een klasgenoot.
Oefeningen met oplossingen
- Wat is de som van de getallen 1 tot 9? Wat is de toversom van het 3 × 3 kwadraat?
- Toversom 15: een rij bevat 8 en 1. Welk getal ontbreekt?
- Je telt 5 op bij elk vakje van het klassieke kwadraat. Wat is de nieuwe toversom?
- Een 3 × 3 kwadraat gebruikt de getallen 3 tot 11. Welk getal staat in het midden?
- Wat is de toversom van een 4 × 4 kwadraat met de getallen 1 tot 16?
Oplossingen. 1. 45; 15. 2. 6. 3. 30 (15 + 3 × 5). 4. 7. 5. 34.
Moedig altijd aan om alle rijen, kolommen en diagonalen te controleren.
Waarom het zo nuttig is
Een toverkwadraat aanvullen vraagt veel hoofdrekenen, optellen en aftrekken, zonder dat je kind het gevoel heeft een reeks oefeningen te maken. Het ontwikkelt ook strategie (waar begin ik?), doorzettingsvermogen en controle. Het is een ideale activiteit voor het begin van de les, voor snelle leerlingen of voor spelmomenten in het gezin. Lees ook rekenspelletjes voor het gezin.
Veelgemaakte fouten
Gewone fouten zijn: vergeten de diagonalen te controleren, een getal twee keer gebruiken terwijl dat niet mag, beginnen met een rij waar twee getallen ontbreken en dan gokken, of zich vergissen in een aftrekking. Leren om altijd te beginnen met de meest volledige rij lost de meeste van die moeilijkheden op.
Toverkwadraten en sudoku
Kinderen die van toverkwadraten houden, vinden vaak ook sudoku’s leuk. Beide raadsels vragen logisch redeneren en controleren, maar een sudoku werkt met plaatsen in plaats van met sommen. Afwisselen tussen beide houdt de motivatie hoog.
Een rooster per week
Een toverkwadraat per week aan het bord, dat leerlingen in hun vrije momenten mogen oplossen, houdt de rekenmotivatie levendig.
Samengevat
Een toverkwadraat is een rooster waarin alle rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som hebben. Voor het kwadraat van 1 tot 9 is de toversom 15 en staat 5 in het midden. Je vult een rooster aan door te beginnen met de rij waar maar één getal ontbreekt, en je kunt een toverkwadraat veranderen door op te tellen of te vermenigvuldigen. Een eenvoudig spel voor een echte rekentraining.
Veelgestelde vragen
Wat is een toverkwadraat?
Een rooster met getallen waarin elke rij, kolom en diagonaal dezelfde som heeft, de toversom.
Wat is de toversom van het kwadraat van 1 tot 9?
15, want de som van 1 tot 9 is 45 en 45 : 3 = 15.
Welk getal staat in het midden van het toverkwadraat van 1 tot 9?
Altijd 5, het middelste getal.
Hoe vul je een toverkwadraat aan?
Begin met een rij, kolom of diagonaal waar maar één getal ontbreekt en vind het met een aftrekking.
Vanaf welk leerjaar kun je toverkwadraten geven?
Al vanaf het 1e leerjaar, met kleine getallen en weinig lege vakjes.