Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 7 est premier, car on ne peut le diviser exactement que par 1 et par 7. 12 n’est pas premier, car il se divise aussi par 2, 3, 4 et 6. Les nombres qui ont plus de deux diviseurs sont appelés nombres composés. Les nombres premiers sont abordés en fin de primaire, souvent en 6e, avec les multiples et les diviseurs, et approfondis au secondaire.
Comprendre avec des jetons
Prenez 12 jetons et essayez de les ranger en rectangle : 1 rangée de 12, 2 rangées de 6, 3 rangées de 4. Plusieurs rectangles sont possibles : 12 n’est pas premier. Avec 7 jetons, on ne peut faire qu’une seule rangée de 7 : impossible de former un vrai rectangle. 7 est premier. Cette manipulation donne une image très concrète : un nombre premier est un nombre qu’on ne peut pas ranger en rectangle (à part en une seule ligne).
Les cas particuliers de 0, 1 et 2
1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur, lui-même. 0 n’est pas premier non plus. 2 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 2. C’est d’ailleurs le seul nombre premier pair, car tous les autres nombres pairs se divisent par 2. Ces trois cas sont souvent demandés dans les exercices.
La liste des nombres premiers jusqu’à 100
Il y en a 25 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Il n’est pas nécessaire de tous les connaître par cœur en primaire, mais les premiers (jusqu’à 20 ou 30) sont très utiles pour simplifier des fractions et décomposer des nombres.
Le crible d’Ératosthène
Cette méthode vieille de plus de 2 000 ans permet de trouver tous les nombres premiers jusqu’à 100. On écrit les nombres de 1 à 100 dans un tableau. On barre 1. On entoure 2 et on barre tous ses multiples (4, 6, 8…). On entoure 3 et on barre ses multiples. On fait de même avec 5 et 7. Tous les nombres qui restent sont premiers. Avec des couleurs différentes pour chaque nombre, le tableau devient une belle affiche.
Comment savoir si un nombre est premier ?
On cherche s’il a un diviseur autre que 1 et lui-même, en testant 2, 3, 5, 7… Les critères de divisibilité aident beaucoup : un nombre pair se divise par 2 ; si la somme de ses chiffres est dans la table de 3, il se divise par 3 ; s’il se termine par 0 ou 5, il se divise par 5. Exemple : 51 → 5 + 1 = 6, donc 51 se divise par 3 (51 = 3 × 17) : il n’est pas premier. 53 ne se divise ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 : il est premier.
Les pièges classiques
Certains nombres ont l’air premiers mais ne le sont pas : 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13. Les nombres impairs ne sont pas tous premiers ! À l’inverse, certains nombres « étranges » le sont : 97, 89, 83. Testez toujours avant de conclure.
Décomposer un nombre en facteurs premiers
Tout nombre composé peut s’écrire comme un produit de nombres premiers. Pour 60 : 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Pour 84 : 2 × 2 × 3 × 7. Pour 36 : 2 × 2 × 3 × 3. On peut présenter la décomposition sous forme d’arbre : on divise par le plus petit nombre premier possible, jusqu’à n’avoir que des nombres premiers. Cette décomposition sert à simplifier des fractions et, au secondaire, à trouver le PGCD et le PPCM.
Exercices corrigés
- Parmi ces nombres, lesquels sont premiers : 9, 11, 15, 17, 21, 23 ?
- Range 18 jetons en rectangles. 18 est-il premier ?
- 51 et 53 sont-ils premiers ?
- Décompose en facteurs premiers : 24, 45, 100.
- Quel est le seul nombre premier pair ?
Corrigé. 1. 11, 17 et 23. 2. 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6 : non. 3. 51 = 3 × 17 n’est pas premier ; 53 est premier. 4. 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ; 45 = 3 × 3 × 5 ; 100 = 2 × 2 × 5 × 5. 5. 2.
Les erreurs fréquentes
- Croire que 1 est premier.
- Croire que tous les nombres impairs sont premiers.
- Oublier que 2 est premier.
- Arrêter la recherche de diviseurs trop tôt.
- Laisser un nombre composé dans une décomposition (60 = 2 × 2 × 15).
Pourquoi les nombres premiers sont fascinants
Il existe une infinité de nombres premiers, comme l’a démontré Euclide il y a plus de 2 000 ans, et personne ne sait prédire exactement où se trouve le suivant. Aujourd’hui, les très grands nombres premiers protègent nos paiements en ligne et nos messages grâce au chiffrement. Les cigales de certaines espèces sortent même de terre tous les 13 ou 17 ans, des nombres premiers ! De quoi éveiller la curiosité des enfants.
Simplifier une fraction grâce aux nombres premiers
La décomposition en facteurs premiers permet de simplifier une fraction sans hésiter. Pour 12/18 : 12 = 2 × 2 × 3 et 18 = 2 × 3 × 3. On barre les facteurs communs (un 2 et un 3) en haut et en bas : il reste 2/3. Pour 30/42 : 2 × 3 × 5 et 2 × 3 × 7, donc 5/7. Cette méthode évite de chercher au hasard par quoi diviser. Lire aussi les fractions équivalentes.
Les nombres premiers jumeaux
Certains nombres premiers ne sont séparés que de 2 : 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31, 41 et 43. On les appelle des nombres premiers jumeaux. Les chercher dans le tableau de 100 est un petit défi amusant. Personne ne sait encore s’il en existe une infinité : c’est l’une des grandes questions ouvertes des mathématiques.
Un défi pour les plus forts
- Écris 20 comme la somme de deux nombres premiers (trouve deux solutions).
- Quel est le plus petit nombre qui s’écrit 2 × 3 × 5 ?
- Je suis un nombre premier entre 40 et 50, et mon chiffre des unités est 7. Qui suis-je ?
Corrigé. 1. 3 + 17 et 7 + 13. 2. 30. 3. 47.
La première question rappelle la célèbre conjecture de Goldbach : tout nombre pair plus grand que 2 serait la somme de deux nombres premiers.
Le rôle des parents
Proposez de chercher ensemble les nombres premiers parmi les numéros de maisons d’une rue, les âges de la famille ou les années. Rangez des biscuits en rectangles pour vérifier. Les nombres premiers se prêtent bien aux énigmes et aux petits défis, idéaux pour éveiller la curiosité.
Pour aller plus loin
Lire aussi multiples et diviseurs, critères de divisibilité et nombres pairs et impairs.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même, comme 2, 3, 5, 7, 11.
1 est-il un nombre premier ?
Non, car il n’a qu’un seul diviseur.
Combien y a-t-il de nombres premiers jusqu’à 100 ?
25, de 2 à 97.
Comment savoir si un nombre est premier ?
En testant s’il se divise par 2, 3, 5, 7… à l’aide des critères de divisibilité.
En quelle année voit-on les nombres premiers ?
En fin de primaire, souvent en 6e, puis au secondaire.
Qu’est-ce que des nombres premiers jumeaux ?
Deux nombres premiers séparés de 2, comme 11 et 13 ou 17 et 19.