Wat is een priemgetal?
Een priemgetal is een geheel getal met precies twee delers: 1 en zichzelf. 7 is een priemgetal, want je kunt het alleen door 1 en door 7 delen zonder rest. 12 is geen priemgetal, want het is ook deelbaar door 2, 3, 4 en 6. Getallen met meer dan twee delers heten samengestelde getallen. Priemgetallen komen op het einde van de lagere school aan bod, vaak in het 6e leerjaar, samen met veelvouden en delers, en worden in het secundair verder uitgediept.
Begrijpen met fiches
Neem 12 fiches en probeer ze in een rechthoek te leggen: 1 rij van 12, 2 rijen van 6, 3 rijen van 4. Er zijn verschillende rechthoeken mogelijk: 12 is geen priemgetal. Met 7 fiches lukt alleen één rij van 7: een echte rechthoek is onmogelijk. 7 is een priemgetal. Dat geeft een heel concreet beeld: een priemgetal kun je niet in een rechthoek leggen (behalve in één rij).
De bijzondere gevallen 0, 1 en 2
1 is geen priemgetal: het heeft maar één deler, zichzelf. 0 is ook geen priemgetal. 2 is wel een priemgetal: de enige delers zijn 1 en 2. Het is meteen het enige even priemgetal, want alle andere even getallen zijn deelbaar door 2. Deze drie gevallen worden vaak gevraagd in oefeningen.
De priemgetallen tot 100
Er zijn er 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Je hoeft ze in de lagere school niet allemaal van buiten te kennen, maar de eerste (tot 20 of 30) zijn heel nuttig om breuken te vereenvoudigen en getallen te ontbinden.
De zeef van Eratosthenes
Met deze methode van meer dan 2 000 jaar oud vind je alle priemgetallen tot 100. Schrijf de getallen van 1 tot 100 in een tabel. Streep 1 door. Omcirkel 2 en streep al zijn veelvouden door (4, 6, 8…). Omcirkel 3 en streep zijn veelvouden door. Doe hetzelfde met 5 en 7. Alle getallen die overblijven, zijn priemgetallen. Met een andere kleur per getal wordt de tabel een mooie affiche voor in de klas of op de kamer.
Hoe weet je of een getal een priemgetal is?
Je zoekt of het een deler heeft buiten 1 en zichzelf, door 2, 3, 5, 7… te testen. De deelbaarheidsregels helpen veel: een even getal is deelbaar door 2; als de som van de cijfers in de tafel van 3 zit, is het getal deelbaar door 3; eindigt het op 0 of 5, dan is het deelbaar door 5. Voorbeeld: 51 → 5 + 1 = 6, dus 51 is deelbaar door 3 (51 = 3 × 17): geen priemgetal. 53 is niet deelbaar door 2, 3, 5 of 7: wel een priemgetal.
Klassieke valkuilen
Sommige getallen lijken priemgetallen maar zijn het niet: 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13. Niet alle oneven getallen zijn priemgetallen! Omgekeerd zijn sommige “vreemde” getallen het wel: 97, 89, 83. Test altijd voor je besluit.
Ontbinden in priemfactoren
Elk samengesteld getal kun je schrijven als een product van priemgetallen. Voor 60: 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5. Voor 84: 2 × 2 × 3 × 7. Voor 36: 2 × 2 × 3 × 3. Je kunt dat tonen met een boomdiagram: deel telkens door het kleinst mogelijke priemgetal tot er alleen priemgetallen overblijven. Die ontbinding helpt bij het vereenvoudigen van breuken en, in het secundair, bij de grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud.
Oefeningen
- Welke getallen zijn priemgetallen: 9, 11, 15, 17, 21, 23?
- Leg 18 fiches in rechthoeken. Is 18 een priemgetal?
- Zijn 51 en 53 priemgetallen?
- Ontbind in priemfactoren: 24, 45, 100.
- Wat is het enige even priemgetal?
Oplossingen. 1. 11, 17 en 23. 2. 1 × 18, 2 × 9, 3 × 6: nee. 3. 51 = 3 × 17 is geen priemgetal; 53 wel. 4. 24 = 2 × 2 × 2 × 3; 45 = 3 × 3 × 5; 100 = 2 × 2 × 5 × 5. 5. 2.
Veelgemaakte fouten
- Denken dat 1 een priemgetal is.
- Denken dat alle oneven getallen priemgetallen zijn.
- Vergeten dat 2 een priemgetal is.
- Te vroeg stoppen met delers zoeken.
- Een samengesteld getal laten staan in een ontbinding (60 = 2 × 2 × 15).
Waarom priemgetallen zo boeiend zijn
Er bestaan oneindig veel priemgetallen, zoals Euclides meer dan 2 000 jaar geleden bewees, en niemand kan precies voorspellen waar het volgende ligt. Vandaag beschermen heel grote priemgetallen onze online betalingen en berichten via versleuteling. Sommige soorten cicaden komen zelfs om de 13 of 17 jaar boven de grond: priemgetallen! Genoeg om de nieuwsgierigheid van kinderen te prikkelen.
Breuken vereenvoudigen met priemgetallen
Met de ontbinding in priemfactoren vereenvoudig je een breuk zonder te twijfelen. Voor 12/18: 12 = 2 × 2 × 3 en 18 = 2 × 3 × 3. Schrap de gemeenschappelijke factoren (een 2 en een 3) boven en onder: er blijft 2/3. Voor 30/42: 2 × 3 × 5 en 2 × 3 × 7, dus 5/7. Zo hoef je niet op goed geluk te zoeken waardoor je kunt delen. Lees ook gelijkwaardige breuken.
Priemtweelingen
Sommige priemgetallen liggen maar 2 uit elkaar: 3 en 5, 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, 29 en 31, 41 en 43. Dat heten priemtweelingen. Ze zoeken in het honderdveld is een leuke uitdaging. Niemand weet nog of er oneindig veel bestaan: het is een van de grote open vragen van de wiskunde.
Uitdaging voor sterke rekenaars
- Schrijf 20 als de som van twee priemgetallen (zoek twee oplossingen).
- Wat is het kleinste getal dat je schrijft als 2 × 3 × 5?
- Ik ben een priemgetal tussen 40 en 50 en eindig op 7. Wie ben ik?
Oplossingen. 1. 3 + 17 en 7 + 13. 2. 30. 3. 47.
De eerste vraag verwijst naar het beroemde vermoeden van Goldbach: elk even getal groter dan 2 zou de som van twee priemgetallen zijn.
Wat kunnen ouders doen?
Zoek samen priemgetallen tussen de huisnummers in een straat, de leeftijden in de familie of jaartallen. Leg koekjes in rechthoeken om te controleren. Priemgetallen lenen zich uitstekend voor raadsels en kleine uitdagingen, ideaal om de nieuwsgierigheid te prikkelen.
Priemgetallen per leerjaar
In het 5e leerjaar leren kinderen veelvouden en delers en ontdekken ze dat sommige getallen maar twee delers hebben. In het 6e leerjaar krijgen die getallen hun naam, gebruiken ze de zeef van Eratosthenes en ontbinden ze eenvoudige getallen. In het secundair volgen ggd en kgv.
Meer lezen
Lees ook veelvouden en delers, deelbaarheidsregels en even en oneven getallen.
Veelgestelde vragen
Wat is een priemgetal?
Een geheel getal met precies twee delers: 1 en zichzelf, zoals 2, 3, 5, 7, 11.
Is 1 een priemgetal?
Nee, want het heeft maar één deler.
Hoeveel priemgetallen zijn er tot 100?
25, van 2 tot 97.
Hoe weet je of een getal een priemgetal is?
Test of het deelbaar is door 2, 3, 5, 7… met behulp van de deelbaarheidsregels.
In welk leerjaar leer je priemgetallen?
Op het einde van de lagere school, vaak in het 6e leerjaar, en daarna in het secundair.
Wat zijn priemtweelingen?
Twee priemgetallen die 2 uit elkaar liggen, zoals 11 en 13 of 17 en 19.