Een venndiagram lezen: wat hoort in de overlap?

De betekenis van twee cirkels

Het kenmerk van elke verzameling

Een venndiagram ordent dingen of personen volgens kenmerken. Elke cirkel heeft een eigen betekenis. In ons fictieve voorbeeld bekijken we een groep van twaalf kinderen. De linkercirkel bevat kinderen die voor voetbal kiezen, de rechtercirkel kinderen die voor basketbal kiezen. Ieder kind mag beide sporten kiezen, één sport of geen van beide. Het gaat niet om een voorspelling van echte voorkeuren.

Lees eerst de labels, niet de kleuren. Een naam hoort in een cirkel wanneer het kind het genoemde kenmerk heeft. De buitenste rechthoek stelt hier de hele groep van twaalf voor. Buiten beide cirkels, maar binnen die rechthoek, staan dus nog steeds kinderen uit de groep. Buiten de cirkels betekent niet automatisch « vergeten ».

De overlap met beide kenmerken

Het gemeenschappelijke deel heet de overlap of doorsnede. Een kind dat voetbal én basketbal kiest, krijgt daar één plaats. Die plaats ligt binnen allebei de cirkels. Je hoeft de naam niet nog eens links of rechts te schrijven. Anders zou hetzelfde kind meer dan één keer als persoon worden geteld.

In de tekening staan aantallen per afzonderlijk gebied: vier alleen bij voetbal, vier in de overlap, twee alleen bij basketbal en twee buiten beide cirkels. De labels vertellen welk soort aantal je ziet. Een getal naast de titel van een volledige cirkel zou juist het totaal van die hele cirkel kunnen betekenen. Controleer dat verschil in elke opgave.

Een element op de juiste plaats zetten

Slechts één kenmerk

Stel twee vragen: « Kiest dit kind voetbal? » en « Kiest dit kind basketbal? ». Ja op de eerste vraag en nee op de tweede betekent: in het linkerdeel buiten de overlap. Bij nee en ja komt het kind rechts buiten de overlap. Het woord « alleen » sluit het andere kenmerk dus uit.

Je kunt dezelfde aanpak oefenen met getallen van 1 tot en met 12. Gebruik links « veelvoud van 2 » en rechts « veelvoud van 3 ». Het getal 4 hoort alleen links, want het is wel een veelvoud van 2 en geen veelvoud van 3. Het getal 9 hoort alleen rechts.

Beide of geen van beide

De getallen 6 en 12 zijn veelvouden van beide getallen en horen in de overlap. De getallen 1, 5, 7 en 11 horen buiten beide cirkels, binnen de verzameling onderzochte getallen. Controleer na het ordenen of elk getal één keer een plaats heeft gekregen.

Een leerling die 6 twee keer wil neerleggen, ziet misschien terecht dat het getal bij beide kenmerken past. Wijs dan niet alleen de plaats aan, maar laat zien dat de overlap juist binnen beide cirkels ligt. Zo wordt de fout een aanleiding om de betekenis van de voorstelling te begrijpen.

Tellen zonder dubbeltellen

Aantallen per cirkel

In de sportgroep kiezen acht kinderen voetbal: vier alleen voetbal en vier beide sporten. Dus 4 + 4 = 8. Voor basketbal tel je twee alleen basketbal en vier in de overlap: 2 + 4 = 6. De vier kinderen in de overlap zitten in elk van deze twee totalen, maar blijven vier personen.

Als een opgave zegt « acht kiezen voetbal », mag je niet zonder meer acht in het linkerdeel buiten de overlap schrijven. Vraag of het getal de volledige verzameling beschrijft of uitsluitend de kinderen met één keuze. Onze acht en zes zijn totalen inclusief de overlap. Dat staat vast voordat we verder rekenen.

Het gemeenschappelijke deel één keer meenemen

Voor minstens één van beide sporten tel je de drie gebieden samen: 4 + 4 + 2 = 10. Met de cirkeltotalen kan het ook: 8 + 6 − 4 = 10. Je trekt de overlap één keer af omdat die bij 8 + 6 twee keer is meegeteld, terwijl je elk kind eenmaal wilt tellen.

De twee kinderen die geen van beide sporten kiezen tellen niet mee bij « minstens één sport ». Voor de hele groep komen ze er wel bij: 10 + 2 = 12. Als alleen acht voetbal, zes basketbal en vier beide bekend waren, wist je wel dat tien kinderen minstens één sport kozen, maar nog niet hoe groot de hele groep was.

Naar een tabel met dubbele ingang

Dezelfde gegevens anders ordenen

Je kunt de twaalf kinderen ook in een tabel zetten. De rijen geven aan of een kind voetbal kiest; de kolommen of het basketbal kiest. Elk kind hoort op één kruising van een rij en een kolom. De vier binnenste vakjes komen overeen met de vier gebieden van het venndiagram.

Het vakje bij « voetbal: ja » en « basketbal: ja » bevat de overlap, dus vier. Bij « nee » en « nee » staan twee kinderen. De tabel voegt geen nieuwe kinderen toe. Ze biedt een andere ordening van precies dezelfde gegevens. Laat een leerling steeds aanwijzen welk diagramgebied bij een gekozen tabelvakje hoort.

De totalen vergelijken

De eerste rij bevat 4 + 4 = 8 kinderen; de tweede rij 2 + 2 = 4. Samen zijn dat twaalf. De kolom met basketbal bevat 4 + 2 = 6, die zonder basketbal 4 + 2 = 6. Ook de kolomtotalen vormen samen twaalf. Een afwijkend eindtotaal is een signaal om de indeling opnieuw te bekijken.

Bij de getallen van 1 tot en met 12 kun je dezelfde controle uitvoeren. Er zijn vier getallen alleen links, twee in de overlap, twee alleen rechts en vier buiten beide cirkels. Die vier gebieden bevatten samen alle twaalf getallen. De omvang van een getekende cirkel vertelt daarbij niets over het aantal elementen.

Uitleggen en oefenen

Een bewuste fout bespreken

Leg de uitspraak voor: « Acht kinderen kiezen voetbal en zes basketbal, dus de groep telt veertien kinderen. » Laat eerst uitleggen waarom dit niet volgt. Vier kinderen zijn dubbel geteld en het aantal buiten beide cirkels is nog nodig om de volledige groep te bepalen. Een goede correctie benoemt beide problemen, in plaats van alleen een andere som te geven.

Ouders kunnen met kaartjes twee kenmerken laten onderzoeken. Leerkrachten kunnen eerst iedere naam afzonderlijk laten leggen en pas daarna aantallen noteren. Vraag telkens wat « alleen », « beide », « geen van beide » en « minstens één » betekenen. Kies kenmerken die voor iedereen duidelijk en veilig zijn; persoonlijke of gevoelige kenmerken zijn voor deze oefening niet nodig.

Het werkblad verzamelingen gebruiken

Bij verzamelingen en venndiagrammen passen de bestaande les en oefeningen met hun oplossingen. Voor het volgen van rijen en kolommen kun je terug naar tabellen met dubbele ingang. De sportkeuzes in ons eigen voorbeeld zijn geen antwoorden bij het PDF-werkblad: lees daar de eigen labels en gegevens.

De onderstaande materialen ondersteunen verschillende stappen van deze uitleg. Houd oefening en oplossingen van dezelfde versie bij elkaar. Voor een bredere keuze is er de uitleg over passende oefenbladen; dat artikel gaat over materiaal kiezen, niet over het berekenen van de overlap.

Schuif de tabel opzij om alle kolommen te zien. De oplossingen bevatten meerdere niveaus; kies de juiste vragen.

Oefenen met een spel: verzamelingen en venndiagrammen · tabellen met dubbele ingang.