Qu’est-ce qu’un diagramme de Venn ?
Un diagramme de Venn (ou diagramme d’ensembles) utilise des cercles pour classer des éléments selon une ou plusieurs propriétés. Avec deux cercles qui se chevauchent, on obtient quatre zones : ce qui est seulement dans le premier cercle, seulement dans le second, dans les deux à la fois (l’intersection), et à l’extérieur des deux. Il porte le nom du mathématicien anglais John Venn. On le travaille surtout en 5e et 6e primaire.
Les quatre zones
- Seulement A : les éléments qui ont la première propriété mais pas la seconde.
- Seulement B : ceux qui ont la seconde mais pas la première.
- A et B (intersection) : ceux qui ont les deux propriétés.
- Ni A ni B : ceux qui n’ont aucune des deux, placés dans le rectangle mais hors des cercles.
Placer un élément au bon endroit
Pour chaque élément, on se pose deux questions : « A-t-il la propriété A ? » et « A-t-il la propriété B ? ». Exemple avec les nombres de 1 à 20, cercle A « nombres pairs », cercle B « multiples de 3 » : 6 est pair et multiple de 3, il va dans l’intersection ; 4 est pair mais pas multiple de 3, il va dans A seulement ; 9 va dans B seulement ; 7 va à l’extérieur. Lire aussi nombres pairs et impairs.
Compter sans compter deux fois
Dans une classe de 25 élèves, 15 aiment le football, 12 la natation et 5 aiment les deux. Combien n’aiment aucun des deux sports ? Si l’on fait 15 + 12 = 27, on compte deux fois les 5 élèves qui aiment les deux ! On place d’abord les 5 dans l’intersection. Football seulement : 15 − 5 = 10. Natation seulement : 12 − 5 = 7. Total dans les cercles : 10 + 5 + 7 = 22. Ni l’un ni l’autre : 25 − 22 = 3 élèves.
Commencer toujours par l’intersection
La règle d’or pour compléter un diagramme de Venn : on remplit d’abord l’intersection, puis on calcule les zones « seulement », puis l’extérieur. Si on commence par les cercles complets, on risque de compter deux fois les éléments communs. Cette méthode est souvent demandée dans les problèmes du CEB.
Du diagramme au tableau à double entrée
Un diagramme de Venn à deux cercles peut se transformer en tableau à double entrée : en lignes « aime le football / n’aime pas », en colonnes « aime la natation / n’aime pas ». Les quatre cases correspondent aux quatre zones du diagramme. Passer de l’un à l’autre aide à vérifier ses calculs. Lire aussi le tableau à double entrée.
Avec trois cercles
En 6e primaire, on rencontre parfois des diagrammes à trois cercles, qui forment huit zones. La méthode reste la même : on commence par la zone centrale (les éléments qui ont les trois propriétés), puis les zones communes à deux cercles, puis les zones simples. C’est un excellent exercice de logique et d’organisation.
Exercices corrigés 4e et 5e primaire
- Avec les nombres de 1 à 12, A = pairs, B = plus grands que 8. Où placer 10 ? 5 ? 9 ? 2 ?
- Quels nombres de 1 à 20 sont à la fois pairs et multiples de 3 ?
Corrigé. 1. 10 : intersection ; 5 : extérieur ; 9 : B seulement ; 2 : A seulement. 2. 6, 12 et 18.
Exercices corrigés 6e primaire
- 25 élèves : 15 aiment le football, 12 la natation, 5 les deux. Combien n’aiment aucun des deux ?
- 30 enfants : 18 ont un chat, 14 un chien, 6 les deux. Combien n’ont ni chat ni chien ?
- Combien ont seulement un chien ?
Corrigé. 1. 3. 2. Chat seul 12, chien seul 8, les deux 6 : 26 ; ni l’un ni l’autre : 4. 3. 8.
Les erreurs fréquentes
- Compter deux fois les éléments de l’intersection.
- Oublier la zone extérieure.
- Placer un élément dans un seul cercle alors qu’il a les deux propriétés.
- Commencer par les totaux au lieu de l’intersection.
Un défi pour les plus forts
- Dans un groupe, 20 personnes parlent français, 15 néerlandais, et 8 parlent les deux langues. Tout le monde parle au moins une des deux langues. Combien de personnes dans le groupe ?
Corrigé. 20 + 15 − 8 = 27 personnes.
Un exemple très belge !
Le saviez-vous ?
Les diagrammes de Venn sont utilisés bien au-delà de l’école : en informatique (moteurs de recherche), en biologie (classer les animaux), en logique et même en marketing. John Venn les a popularisés en 1880.
Le rôle des parents
Utilisez deux cerceaux ou deux cordes sur le sol pour classer des jouets, des vêtements ou des fruits selon deux critères (rouge / rond, par exemple). L’enfant voit physiquement l’intersection. Faites ensuite un sondage dans la famille et comptez avec la méthode de l’intersection.
Selon les années
1re à 3e primaire : trier des objets selon un critère, puis deux. 4e et 5e primaire : diagrammes à deux cercles, placer des éléments. 6e primaire : problèmes de dénombrement, trois cercles, lien avec le tableau à double entrée.
En résumé
Un diagramme de Venn classe des éléments en zones ; on commence toujours par l’intersection ; on calcule ensuite les zones « seulement » et l’extérieur ; et on ne compte jamais deux fois les éléments communs.
Venn dans la vie courante
Les diagrammes de Venn servent à organiser des informations au quotidien : quels amis font du sport et de la musique, quels aliments sont sucrés et salés, quels animaux vivent dans l’eau et sur terre (les amphibiens, dans l’intersection !). Ils aident à réfléchir avec méthode.
Exercices supplémentaires
- Place les animaux : grenouille, poisson, chat, canard. A = vit dans l’eau, B = a des pattes.
- 40 élèves : 25 aiment les maths, 20 le français, 10 les deux. Combien n’aiment ni l’un ni l’autre ?
Corrigé. 1. Grenouille et canard : intersection ; poisson : A seulement ; chat : B seulement. 2. 25 + 20 − 10 = 35, donc 5.
Un dernier conseil
Écrivez les nombres directement dans les zones du dessin : on voit tout de suite si le total est correct.
Pour terminer
Dès qu’un problème parle de « les deux » ou « ni l’un ni l’autre », pensez au diagramme de Venn : il évite presque toutes les erreurs de comptage.
Le diagramme de Venn au CEB
Au CEB, les diagrammes d’ensembles apparaissent dans des problèmes de tri et de dénombrement. Lisez bien les données, remplissez d’abord l’intersection et vérifiez que la somme de toutes les zones donne le total.
Un deuxième défi
- Dans une classe de 28 élèves, 16 ont un frère, 12 une sœur, et 7 n’ont ni frère ni sœur. Combien ont à la fois un frère et une sœur ?
Corrigé. 28 − 7 = 21 élèves ont au moins un frère ou une sœur ; 16 + 12 − 21 = 7 ont les deux.
Pour aller plus loin
Lire aussi le tableau à double entrée, multiples et diviseurs et données inutiles et manquantes.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’intersection ?
La zone commune aux deux cercles : les éléments qui ont les deux propriétés.
Par où commencer pour compléter un diagramme ?
Par l’intersection, puis les zones « seulement », puis l’extérieur.
Pourquoi ne pas additionner les deux cercles ?
Parce qu’on compterait deux fois les éléments de l’intersection.
Où placer un élément qui n’a aucune des propriétés ?
Dans le rectangle, à l’extérieur des cercles.
Un diagramme de Venn peut-il devenir un tableau ?
Oui : un tableau à double entrée avec quatre cases correspondant aux quatre zones.
En quelle année ?
Surtout en 5e et 6e primaire.
Qui a inventé ce diagramme ?
Le mathématicien anglais John Venn, en 1880.