Qu’est-ce qu’un pavage ?
Un pavage est une façon de recouvrir entièrement une surface avec des formes, sans laisser de trou et sans que les formes se chevauchent. Les carrelages d’une salle de bain, les pavés d’une rue, le parquet ou les alvéoles d’une ruche sont des pavages. En géométrie, on étudie surtout les pavages réalisés avec des polygones. C’est une activité à la fois mathématique et artistique, travaillée de la 3e à la 6e primaire.
Qu’est-ce qu’une frise ?
Une frise est une bande décorée par un motif qui se répète régulièrement, toujours dans la même direction. Les bordures de papier peint, les frises en haut des pages d’un cahier ou les motifs des tissus en sont des exemples. Pour continuer une frise, il faut repérer le motif de base et la manière dont il se répète : simplement glissé, retourné ou tourné.
Les polygones qui pavent seuls
Parmi les polygones réguliers, seuls trois permettent de paver un plan à eux seuls : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier. La raison : autour de chaque sommet, les angles doivent former un tour complet, soit 360°. Six triangles (6 × 60° = 360°), quatre carrés (4 × 90°) ou trois hexagones (3 × 120°) se rejoignent parfaitement. Le pentagone régulier (108°) ne fonctionne pas : 3 × 108° = 324°, il reste un trou. Lire aussi les polygones.
Des pavages avec d’autres formes
Tous les rectangles et tous les parallélogrammes pavent le plan, comme les briques d’un mur posées en quinconce. Tous les triangles aussi, même quelconques, si on les assemble deux par deux. On peut combiner plusieurs formes : octogones et carrés (135° + 135° + 90° = 360°), comme sur certains carrelages anciens. Ces pavages mixtes sont appelés semi-réguliers.
Glisser, retourner, tourner
Pour construire une frise ou un pavage, on déplace un motif de trois façons. La translation : on fait glisser le motif sans le tourner. La symétrie : on le retourne comme dans un miroir. La rotation : on le fait tourner autour d’un point. Reconnaître ces transformations dans une frise est un excellent exercice d’observation. Lire aussi la symétrie axiale.
Créer son propre pavage
Une activité célèbre : découper un morceau d’un carré en carton et le recoller sur le côté opposé. La nouvelle forme, bizarre, pave toujours le plan ! En la reproduisant sur une grande feuille et en décorant chaque pièce, on obtient un pavage original. L’artiste néerlandais M. C. Escher est célèbre pour ses pavages d’oiseaux, de poissons et de lézards construits ainsi.
Pavages et calcul
Les pavages permettent aussi de calculer : combien de carreaux de 20 cm faut-il pour paver un sol de 2 m sur 1,6 m ? En longueur, 200 : 20 = 10 carreaux ; en largeur, 160 : 20 = 8 ; au total 80 carreaux. C’est un lien direct avec les aires. Lire aussi les unités d’aire.
Exercices corrigés 3e et 4e primaire
- Continue la frise : ▲ ● ● ▲ ● ● …
- Peut-on paver un sol uniquement avec des carrés ? Avec des cercles ?
- Cite trois pavages que tu vois dans la vie de tous les jours.
Corrigé. 1. ▲ ● ● ▲. 2. Oui avec des carrés ; non avec des cercles (il reste des trous). 3. Par exemple : carrelage, pavés de la rue, ruche.
Exercices corrigés 5e et 6e primaire
- Pourquoi trois hexagones réguliers peuvent-ils se rejoindre en un sommet ?
- Pourquoi le pentagone régulier ne pave-t-il pas ?
- Combien de carreaux de 20 cm pour un sol de 2 m sur 1,6 m ?
- Dans une frise, le motif est retourné comme dans un miroir. Quelle transformation est utilisée ?
Corrigé. 1. 3 × 120° = 360°. 2. 3 × 108° = 324°, il reste 36° (un trou), et 4 × 108° dépasse 360°. 3. 10 × 8 = 80 carreaux. 4. Une symétrie.
Les erreurs fréquentes
- Laisser des trous ou faire chevaucher les formes.
- Croire que tous les polygones réguliers pavent.
- Ne pas repérer le motif de base d’une frise.
- Confondre translation et symétrie.
- Oublier de convertir les unités dans les calculs de carrelage.
Un défi pour les plus forts
- Avec des triangles équilatéraux et des hexagones, peut-on paver autour d’un sommet ? Propose une combinaison.
Corrigé. Oui : par exemple 2 triangles et 2 hexagones (60 + 60 + 120 + 120 = 360°), ou 4 triangles et 1 hexagone (4 × 60 + 120 = 360°).
Le saviez-vous ?
Les abeilles construisent des alvéoles hexagonales parce que cette forme permet de paver l’espace en utilisant le moins de cire possible pour un volume donné. Les mathématiciens ont mis des siècles à le démontrer ! La nature est pleine de pavages : écailles de serpent, carapaces de tortue, cristaux.
Pavages et frises selon les années
1re et 2e primaire : continuer des frises de formes et de couleurs. 3e et 4e primaire : reconnaître et compléter des pavages simples. 5e et 6e primaire : comprendre pourquoi certaines formes pavent, reconnaître translations et symétries, créer des pavages. Lire aussi les suites logiques.
Le rôle des parents
Partez à la chasse aux pavages et aux frises dans la maison et en promenade : carrelages, trottoirs, grilles, tissus. Proposez des jeux de construction avec des formes magnétiques ou des mosaïques. Créer ensemble un pavage colorié peut devenir une belle décoration pour la chambre !
En résumé
Un pavage recouvre une surface sans trou ni chevauchement ; seuls le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier pavent seuls ; une frise répète un motif dans une direction, par translation, symétrie ou rotation.
Exercices supplémentaires
- Un carrelage est fait de carreaux carrés de 25 cm. Combien en faut-il pour un sol de 3 m sur 2 m ?
- Dans une frise, le motif « ▲▼ » se répète. Quel est le 9e élément ?
Corrigé. 1. 12 × 8 = 96 carreaux. 2. ▲ (les éléments impairs sont ▲).
Un dernier conseil
Pour continuer une frise, entourez d’abord le motif de base : la suite devient évidente.
Pavages et histoire
Les mosaïques romaines, les carrelages de l’Alhambra en Espagne ou les vitraux des églises montrent que les pavages fascinent les artistes depuis des siècles. Dans ces œuvres, on retrouve toutes les transformations étudiées à l’école : translations, symétries et rotations.
Un deuxième défi
- Pourquoi des octogones réguliers et des carrés peuvent-ils paver ensemble ?
Corrigé. Autour d’un sommet : 135° + 135° + 90° = 360°.
Pour terminer
Pavages et frises relient géométrie, calcul et art : un sujet idéal pour montrer aux enfants que les mathématiques peuvent être belles.
Une idée de projet
Faites créer un pavage personnel en classe ou à la maison, puis exposez-le !
Pour aller plus loin
Lire aussi la symétrie axiale, les polygones et les suites logiques.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un pavage ?
Un recouvrement d’une surface par des formes, sans trou ni chevauchement.
Quels polygones réguliers pavent le plan seuls ?
Le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone régulier.
Pourquoi le pentagone régulier ne pave-t-il pas ?
Parce que ses angles de 108° ne permettent pas de faire exactement 360° autour d’un sommet.
Qu’est-ce qu’une frise ?
Une bande où un motif se répète régulièrement dans une direction.
Qui est M. C. Escher ?
Un artiste néerlandais célèbre pour ses pavages d’animaux.
Quelles transformations utilise-t-on ?
La translation (glisser), la symétrie (retourner) et la rotation (tourner).
Les briques d’un mur forment-elles un pavage ?
Oui : des rectangles posés en quinconce recouvrent le mur sans trou.
Un cercle peut-il paver un plan ?
Non : entre des cercles, il reste toujours des trous.
Qu’est-ce qu’un pavage semi-régulier ?
Un pavage qui combine plusieurs polygones réguliers, comme des octogones et des carrés.