Wat is een vlakvulling?
Een vlakvulling is een manier om een vlak volledig te bedekken met vormen, zonder gaten en zonder dat de vormen overlappen. De tegels in een badkamer, de kasseien van een straat, een parketvloer of de cellen van een bijenraat zijn vlakvullingen. In de meetkunde bestudeer je vooral vlakvullingen met veelhoeken. Het is een activiteit die wiskunde en kunst verbindt, van het 3e tot het 6e leerjaar.
Wat is een fries?
Een fries is een strook versierd met een patroon dat zich regelmatig herhaalt, altijd in dezelfde richting. Randjes van behangpapier, friezen bovenaan een schriftblad of motieven op stoffen zijn voorbeelden. Om een fries verder te zetten, zoek je het basispatroon en de manier waarop het zich herhaalt: gewoon verschoven, omgedraaid of gedraaid.
Veelhoeken die alleen vlakvullend zijn
Van de regelmatige veelhoeken zijn er maar drie die op zich alleen een vlak kunnen vullen: de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek. De reden: rond elk hoekpunt moeten de hoeken samen een volledige toer vormen, dus 360°. Zes driehoeken (6 × 60° = 360°), vier vierkanten (4 × 90°) of drie zeshoeken (3 × 120°) passen perfect. De regelmatige vijfhoek (108°) lukt niet: 3 × 108° = 324°, er blijft een gat. Lees ook veelhoeken.
Vlakvullingen met andere vormen
Alle rechthoeken en parallellogrammen zijn vlakvullend, zoals bakstenen in een muur in halfsteensverband. Alle driehoeken ook, zelfs ongelijkbenige, als je ze twee aan twee samenlegt. Je kunt ook vormen combineren: achthoeken en vierkanten (135° + 135° + 90° = 360°), zoals op sommige oude tegelvloeren. Zulke gemengde vlakvullingen heten halfregelmatig.
Verschuiven, spiegelen, draaien
Om een fries of vlakvulling te maken, verplaats je een patroon op drie manieren. Verschuiven: je schuift het patroon zonder te draaien. Spiegelen: je draait het om zoals in een spiegel. Draaien: je laat het rond een punt draaien. Die bewegingen herkennen in een fries is een uitstekende kijkoefening. Lees ook spiegelsymmetrie.
Je eigen vlakvulling maken
Een bekende activiteit: knip een stuk uit een kartonnen vierkant en plak het aan de overkant. De nieuwe, vreemde vorm is nog altijd vlakvullend! Door hem op een groot blad te herhalen en elk stuk te versieren, krijg je een originele vlakvulling. De Nederlandse kunstenaar M. C. Escher is wereldberoemd om zijn vlakvullingen met vogels, vissen en hagedissen die zo gemaakt zijn.
Vlakvullingen en rekenen
Met vlakvullingen kun je ook rekenen: hoeveel tegels van 20 cm heb je nodig voor een vloer van 2 m op 1,6 m? In de lengte 200 : 20 = 10 tegels; in de breedte 160 : 20 = 8; samen 80 tegels. Een rechtstreeks verband met oppervlakte. Lees ook oppervlaktematen.
Oefeningen 3e en 4e leerjaar
- Zet de fries verder: ▲ ● ● ▲ ● ● …
- Kun je een vloer bedekken met alleen vierkanten? Met cirkels?
- Noem drie vlakvullingen die je in het dagelijks leven ziet.
Oplossingen. 1. ▲ ● ● ▲. 2. Ja met vierkanten; nee met cirkels (er blijven gaten). 3. Bijvoorbeeld: tegelvloer, kasseien, bijenraat.
Oefeningen 5e en 6e leerjaar
- Waarom kunnen drie regelmatige zeshoeken samenkomen in één hoekpunt?
- Waarom is de regelmatige vijfhoek niet vlakvullend?
- Hoeveel tegels van 20 cm voor een vloer van 2 m op 1,6 m?
- In een fries wordt het patroon omgedraaid zoals in een spiegel. Welke beweging is dat?
Oplossingen. 1. 3 × 120° = 360°. 2. 3 × 108° = 324°, er blijft 36° over (een gat), en 4 × 108° is meer dan 360°. 3. 10 × 8 = 80 tegels. 4. Een spiegeling.
Veelgemaakte fouten
- Gaten laten of vormen laten overlappen.
- Denken dat alle regelmatige veelhoeken vlakvullend zijn.
- Het basispatroon van een fries niet vinden.
- Verschuiving en spiegeling verwarren.
- Vergeten maten te herleiden bij tegelberekeningen.
Uitdaging voor sterke rekenaars
- Kun je met gelijkzijdige driehoeken en zeshoeken een hoekpunt vullen? Stel een combinatie voor.
Oplossingen. Ja: bijvoorbeeld 2 driehoeken en 2 zeshoeken (60 + 60 + 120 + 120 = 360°), of 4 driehoeken en 1 zeshoek (4 × 60 + 120 = 360°).
Wist je dat?
Bijen bouwen zeshoekige cellen omdat je met die vorm een ruimte kunt vullen met zo weinig mogelijk was. Wiskundigen hebben eeuwen nodig gehad om dat te bewijzen! De natuur zit vol vlakvullingen: slangenschubben, schildpadschilden, kristallen.
Vlakvullingen en friezen per leerjaar
1e en 2e leerjaar: friezen met vormen en kleuren verderzetten. 3e en 4e leerjaar: eenvoudige vlakvullingen herkennen en aanvullen. 5e en 6e leerjaar: begrijpen waarom sommige vormen vlakvullend zijn, verschuivingen en spiegelingen herkennen, zelf vlakvullingen maken. Lees ook getallenrijen en patronen.
Wat kunnen ouders doen?
Ga thuis en tijdens een wandeling op zoek naar vlakvullingen en friezen: tegels, voetpaden, hekken, stoffen. Bied bouwspelletjes aan met magnetische vormen of mozaïeksteentjes. Samen een ingekleurde vlakvulling maken kan een mooie versiering voor de kinderkamer worden!
Samengevat
Een vlakvulling bedekt een vlak zonder gaten of overlappingen; alleen de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek zijn alleen vlakvullend; een fries herhaalt een patroon in één richting, door verschuiving, spiegeling of draaiing.
Extra oefeningen
- Een vloer wordt betegeld met vierkante tegels van 25 cm. Hoeveel tegels heb je nodig voor een vloer van 3 m op 2 m?
- In een fries herhaalt het patroon “▲▼” zich. Wat is het 9e element?
Oplossingen. 1. 12 × 8 = 96 tegels. 2. ▲ (de oneven elementen zijn ▲).
Een laatste tip
Omcirkel eerst het basispatroon om een fries verder te zetten: de rest wordt vanzelfsprekend.
Escher in Nederland
In Den Haag staat een museum gewijd aan M. C. Escher. Een bezoek is een prachtige manier om vlakvullingen in het echt te ontdekken.
Vlakvullingen en geschiedenis
Romeinse mozaïeken, de tegels van het Alhambra in Spanje of glas-in-loodramen in kerken tonen dat vlakvullingen kunstenaars al eeuwen boeien. In die werken vind je alle bewegingen terug die je op school leert: verschuivingen, spiegelingen en draaiingen.
Een tweede uitdaging
- Waarom kunnen regelmatige achthoeken en vierkanten samen een vlak vullen?
Oplossingen. Rond een hoekpunt: 135° + 135° + 90° = 360°.
Tot slot
Vlakvullingen en friezen verbinden meetkunde, rekenen en kunst: een ideaal onderwerp om kinderen te laten ontdekken hoe mooi wiskunde kan zijn.
Spelletjes om te oefenen
Mozaïeksets, magnetische vormen en tegelpuzzels laten je kind spelenderwijs vlakvullingen ontdekken. Daag het uit: “Kun je deze vloer bedekken met alleen driehoeken? En met vijfhoeken?”
Een projectidee
Laat in de klas of thuis een eigen vlakvulling maken met een uitgeknipte vorm zoals bij Escher, en hang het resultaat op. Kinderen zijn er vaak heel trots op, en ze leren ondertussen veel over vormen en hoeken.
Meer lezen
Lees ook spiegelsymmetrie, veelhoeken en getallenrijen en patronen.
Veelgestelde vragen
Wat is een vlakvulling?
Een bedekking van een vlak met vormen, zonder gaten of overlappingen.
Welke regelmatige veelhoeken zijn alleen vlakvullend?
De gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek.
Waarom is de regelmatige vijfhoek niet vlakvullend?
Omdat zijn hoeken van 108° niet precies 360° vormen rond een hoekpunt.
Wat is een fries?
Een strook waarin een patroon zich regelmatig herhaalt in één richting.
Wie was M. C. Escher?
Een Nederlandse kunstenaar, beroemd om zijn vlakvullingen met dieren.
Welke bewegingen gebruik je?
Verschuiven, spiegelen en draaien.
Vormen de bakstenen van een muur een vlakvulling?
Ja: rechthoeken in halfsteensverband bedekken de muur zonder gaten.
Kan een cirkel een vlak vullen?
Nee: tussen cirkels blijven altijd gaten.
Wat is een halfregelmatige vlakvulling?
Een vlakvulling met verschillende regelmatige veelhoeken, zoals achthoeken en vierkanten.
Waar zie je friezen?
Op behangpapier, stoffen, tegelranden en bovenaan bladzijden.