Les propriétés des opérations pour calculer malin

À quoi servent les propriétés des opérations ?

Les propriétés des opérations sont des règles qui permettent de modifier un calcul sans changer son résultat. Elles ont des noms savants (commutativité, associativité, distributivité), mais les enfants les utilisent souvent sans le savoir. Les connaître consciemment permet de calculer plus vite et plus sûrement, surtout en calcul mental : on réorganise le calcul pour le rendre plus facile. Elles sont travaillées tout au long du primaire et préparent le calcul littéral du secondaire.

La commutativité : changer l’ordre

Dans une addition ou une multiplication, on peut changer l’ordre des termes : 3 + 8 = 8 + 3 et 4 × 7 = 7 × 4. C’est très utile : pour 2 + 39, il est plus simple de calculer 39 + 2 ; pour la table de multiplication, connaître 3 × 8, c’est aussi connaître 8 × 3, ce qui divise presque par deux le nombre de résultats à retenir. Attention : la commutativité ne fonctionne pas pour la soustraction et la division : 8 − 3 n’est pas égal à 3 − 8, et 12 : 4 n’est pas égal à 4 : 12.

L’associativité : regrouper autrement

Quand on additionne ou multiplie plusieurs nombres, on peut les regrouper comme on veut. Pour 25 + 38 + 75, on calcule d’abord 25 + 75 = 100, puis 100 + 38 = 138. Pour 4 × 7 × 25, on calcule 4 × 25 = 100, puis 100 × 7 = 700. En combinant commutativité et associativité, on cherche les « bons copains » : les nombres qui font 10, 100 ou 1 000 ensemble.

La distributivité : décomposer

Pour multiplier un nombre par une somme, on peut multiplier chaque terme : 6 × 23 = 6 × (20 + 3) = 6 × 20 + 6 × 3 = 120 + 18 = 138. Cela marche aussi avec une différence : 9 × 15 = (10 − 1) × 15 = 150 − 15 = 135. La distributivité est la base de la multiplication posée et de nombreuses stratégies de calcul mental. Lire aussi calcul mental et multiplication.

Les éléments neutres et le zéro

• Ajouter 0 ne change rien : 47 + 0 = 47. Zéro est l’élément neutre de l’addition.
• Multiplier par 1 ne change rien : 47 × 1 = 47. Un est l’élément neutre de la multiplication.
• Multiplier par 0 donne toujours 0 : 47 × 0 = 0. Zéro est dit « absorbant » pour la multiplication.
• On ne peut pas diviser par 0.

La compensation pour additionner

Dans une addition, si on ajoute un nombre à un terme et qu’on l’enlève à l’autre, la somme ne change pas : 47 + 38 = 50 + 35 = 85 (on a ajouté 3 à 47 et enlevé 3 à 38). Cela permet de transformer un calcul difficile en un calcul avec un nombre rond.

La conservation des écarts pour soustraire

Dans une soustraction, si on ajoute (ou enlève) le même nombre aux deux termes, la différence ne change pas : 83 − 29 = 84 − 30 = 54. C’est comme deux enfants qui grandissent de la même façon : leur différence d’âge reste la même. Cette propriété rend beaucoup de soustractions plus faciles de tête. Lire aussi calcul mental et soustraction.

Pourquoi ça ne marche pas avec la soustraction et la division ?

8 − 3 = 5 mais 3 − 8 ne donne pas 5. Et (20 − 10) − 5 = 5, alors que 20 − (10 − 5) = 15 : l’ordre et les regroupements comptent. De même pour la division : (24 : 4) : 2 = 3, mais 24 : (4 : 2) = 12. C’est pourquoi il faut respecter les priorités de calcul et les parenthèses.

Exercices corrigés 3e et 4e primaire

1. Calcule malin : 17 + 26 + 3.
2. Calcule malin : 2 × 9 × 5.
3. Vrai ou faux : 15 − 6 = 6 − 15.

Corrigé. 1. 17 + 3 = 20, puis 46. 2. 2 × 5 = 10, puis 90. 3. Faux.

Exercices corrigés 5e et 6e primaire

1. Calcule malin : 25 + 38 + 75.
2. Calcule malin : 4 × 7 × 25.
3. Calcule avec la distributivité : 6 × 23 ; 9 × 15.
4. Calcule par compensation : 47 + 38 ; 83 − 29.
5. Calcule : 125 × 8 × 3.

Corrigé. 1. 138. 2. 700. 3. 138 ; 135. 4. 85 ; 54. 5. 125 × 8 = 1 000, puis 3 000.

Les erreurs fréquentes

• Appliquer la commutativité à la soustraction ou à la division.
• Oublier de multiplier un des termes dans la distributivité (6 × 23 = 120 + 3).
• Dans la compensation, ajouter aux deux termes d’une addition (ce qui change le résultat).
• Croire que multiplier par 0 donne le nombre lui-même.

Les propriétés selon les années

1re et 2e primaire : changer l’ordre d’une addition, chercher les compléments à 10. 3e et 4e primaire : commutativité de la multiplication (tables), regroupements, décomposition. 5e et 6e primaire : utilisation consciente des propriétés, distributivité, compensation et conservation des écarts, priorités et parenthèses.

Le rôle des parents

Quand vous faites les courses, additionnez les prix en cherchant les « bons copains » (2,50 € + 1,50 € = 4 €). Lancez des défis : « Qui calcule le plus vite 4 × 17 × 25 ? » Demandez toujours comment votre enfant a fait : c’est en expliquant qu’il prend conscience des propriétés qu’il utilise.

Un défi pour les plus forts

1. Calcule de tête : 5 × 13 × 2 × 7.
2. Calcule : 99 × 8.
3. Calcule : 198 + 47 + 2 + 53.

Corrigé. 1. (5 × 2) × 13 × 7 = 10 × 91 = 910. 2. 100 × 8 − 8 = 792. 3. (198 + 2) + (47 + 53) = 200 + 100 = 300.

Cherchez toujours les bons copains avant de calculer.

Des jeux pour s’entraîner

Le jeu du « calcul malin » : on tire trois ou quatre cartes-nombres et on cherche l’ordre le plus facile pour les additionner ou les multiplier. Le jeu du « compte est bon », où il faut atteindre un nombre cible avec des opérations, entraîne aussi les propriétés. Chronométrez seulement pour le plaisir, jamais pour mettre la pression.

Les propriétés au quotidien

Au magasin, pour additionner 3,75 €, 2,40 € et 1,25 €, on regroupe 3,75 + 1,25 = 5, puis on ajoute 2,40 : 7,40 €. Pour savoir combien coûtent 4 paquets à 2,25 €, on pense 4 × 2 + 4 × 0,25 = 8 + 1 = 9 €. Les propriétés des opérations sont partout, dès qu’on calcule de tête.

Exercices supplémentaires

1. Calcule malin : 36 + 27 + 64.
2. Calcule : 8 × 99.
3. Calcule par compensation : 156 − 98.

Corrigé. 1. 36 + 64 = 100, puis 127. 2. 800 − 8 = 792. 3. 158 − 100 = 58.

Le saviez-vous ?

Le mathématicien Gauss aurait, enfant, additionné tous les nombres de 1 à 100 en quelques secondes, en regroupant 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98… : 50 paires de 101, soit 5 050.

Pour aller plus loin

Lire aussi techniques de calcul mental, les priorités de calcul et la multiplication écrite.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la commutativité ?

La possibilité de changer l’ordre des termes d’une addition ou d’une multiplication sans changer le résultat : 4 × 7 = 7 × 4.

Qu’est-ce que l’associativité ?

La possibilité de regrouper les termes comme on veut : 25 + 38 + 75 = (25 + 75) + 38.

Qu’est-ce que la distributivité ?

Multiplier une somme en multipliant chaque terme : 6 × 23 = 6 × 20 + 6 × 3.

La soustraction est-elle commutative ?

Non : 8 − 3 n’est pas égal à 3 − 8.

Qu’est-ce que la conservation des écarts ?

Ajouter le même nombre aux deux termes d’une soustraction ne change pas le résultat : 83 − 29 = 84 − 30.

Pourquoi apprendre les propriétés des opérations ?

Pour calculer plus vite et plus sûrement de tête, en réorganisant les calculs.