De volgorde van bewerkingen: in welke volgorde reken je?
Hoeveel is 2 + 3 × 4? Veel kinderen antwoorden 20: ze rekenen eerst 2 + 3 = 5 en dan 5 × 4. Toch is het juiste antwoord 14. Wiskundigen hebben afgesproken in welke volgorde je bewerkingen uitvoert, zodat iedereen dezelfde uitkomst vindt. In dit artikel leggen we die volgorde van bewerkingen eenvoudig uit, met voorbeelden, een ezelsbruggetje en oefeningen met oplossingen.
De regels
- Eerst de haakjes: wat tussen haakjes staat, reken je eerst uit.
- Dan vermenigvuldigen en delen, van links naar rechts.
- Dan optellen en aftrekken, van links naar rechts.
Vermenigvuldigen en delen zijn even belangrijk, net als optellen en aftrekken. Bij gelijke bewerkingen reken je dus gewoon van links naar rechts.
Het ezelsbruggetje
Onthoud: Haakjes – Maal en Gedeeld door – Plus en Min. Of korter: « eerst de haakjes, dan de sterke bewerkingen (× en :), dan de zwakke (+ en −) ». In het secundair komen daar de machten en wortels bij, maar in de lagere school volstaan deze drie stappen.
Voorbeelden stap voor stap
- 2 + 3 × 4: eerst 3 × 4 = 12, dan 2 + 12 = 14.
- (2 + 3) × 4: eerst de haakjes 2 + 3 = 5, dan 5 × 4 = 20.
- 20 − 12 : 4: eerst 12 : 4 = 3, dan 20 − 3 = 17.
- 18 : 3 × 2: van links naar rechts, 18 : 3 = 6, dan 6 × 2 = 12.
- 15 − 6 + 4: van links naar rechts, 15 − 6 = 9, dan 9 + 4 = 13.
- 5 × (8 − 3) + 2: haakjes 8 − 3 = 5, dan 5 × 5 = 25, dan 25 + 2 = 27.
Tip: laat je kind de bewerking die het eerst uitrekent onderstrepen, en schrijf telkens de nieuwe, kortere opgave op de volgende regel. Zo raakt het niet in de war.
Veelgemaakte fouten
- Gewoon van links naar rechts rekenen: 2 + 3 × 4 = 20 is fout.
- Vermenigvuldigen altijd voor delen: 18 : 3 × 2 is 12, niet 3.
- Optellen altijd voor aftrekken: 15 − 6 + 4 is 13, niet 5.
- Haakjes vergeten: bij een vraagstuk moet je soms zelf haakjes plaatsen.
De volgorde in vraagstukken
In vraagstukken helpt de volgorde van bewerkingen om je berekening in één lijn te schrijven. Een voorbeeld: Tom koopt 3 schriften van 2 € en een pen van 1 €. Hoeveel betaalt hij? De bewerking is 3 × 2 + 1 = 6 + 1 = 7 €. Een ander voorbeeld: Lea heeft 20 € en koopt 2 boeken van 6 €. Hoeveel houdt ze over? Dat is 20 − 2 × 6 = 20 − 12 = 8 €. Wil je eerst optellen, dan heb je haakjes nodig: Een ticket kost 5 € voor een volwassene en 3 € voor een kind. Wat betaalt een gezin van 4 voor 2 volwassenen en 2 kinderen? 2 × (5 + 3) = 16 €.
Oefeningen
Niveau 1
- 4 + 2 × 5 = ?
- 10 − 6 : 2 = ?
- (4 + 2) × 5 = ?
Niveau 2
- 24 : 4 × 2 = ?
- 18 − 3 × 4 + 2 = ?
- (15 − 5) : (3 + 2) = ?
Niveau 3
- 3 × (7 + 2) − 4 × 5 = ?
- Plaats haakjes zodat het klopt: 6 + 4 × 2 = 20.
- Schrijf als één bewerking en reken uit: Sami koopt 4 ijsjes van 2 € en betaalt met 10 €. Hoeveel krijgt hij terug?
Oplossingen
- 14
- 7
- 30
- 12
- 8
- 2
- 27 − 20 = 7
- (6 + 4) × 2 = 20
- 10 − 4 × 2 = 10 − 8 = 2 €
Waarom bestaat er een afspraak?
Stel dat twee kinderen dezelfde opgave krijgen: 10 − 2 × 3. Het ene kind rekent van links naar rechts: 10 − 2 = 8, en 8 × 3 = 24. Het andere kind rekent eerst de vermenigvuldiging: 2 × 3 = 6, en 10 − 6 = 4. Zonder afspraak hebben ze allebei gelijk, en dat kan natuurlijk niet. Daarom spreken wiskundigen over de hele wereld dezelfde volgorde af. Leg dat zo uit aan je kind: de volgorde is geen trucje, maar een afspraak zodat iedereen elkaar begrijpt.
Haakjes als hulpmiddel
Haakjes zijn handig om duidelijk te maken wat eerst moet. Wil je toch eerst optellen, dan zet je haakjes: (10 − 2) × 3 = 24. Soms staan er zelfs haakjes binnen haakjes. Dan begin je bij de binnenste haakjes: 2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12. In de lagere school komen zulke opgaven vooral in het 6e leerjaar voor, als voorbereiding op het secundair.
De volgorde bij hoofdrekenen
Ook bij hoofdrekenen speelt de volgorde een rol. Bij 25 × 4 + 25 × 6 reken je eerst 100 en 150 en tel je die op: 250. Wie de eigenschappen kent, ziet ook dat het hetzelfde is als 25 × (4 + 6) = 25 × 10 = 250. Zulke opgaven tonen kinderen dat haakjes en volgorde samen het rekenen makkelijker kunnen maken.
Tips voor thuis
- Begin met twee bewerkingen en voeg pas later een derde toe.
- Laat je kind zelf opgaven verzinnen waarbij de volgorde een verschil maakt.
- Controleer met een rekenmachine: de meeste rekenmachines houden rekening met de volgorde. Zo kan je kind zijn antwoord zelf nakijken.
- Herhaal de maaltafels: wie die vlot kent, kan zich volledig op de volgorde concentreren. Oefen ze met de quiz.
Meer oefeningen met bewerkingen vind je bij bewerkingen met kommagetallen en in vermenigvuldigen en cijferen.
Veelgestelde vragen
Wat is de volgorde van bewerkingen?
Eerst wat tussen haakjes staat, dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, en ten slotte optellen en aftrekken van links naar rechts.
Wat is het ezelsbruggetje voor de volgorde van bewerkingen?
Een veelgebruikt ezelsbruggetje is « Haakjes, Machten, Vermenigvuldigen en Delen, Optellen en Aftrekken ». In de lagere school volstaat: haakjes, dan maal en gedeeld door, dan plus en min.
Gaat vermenigvuldigen altijd voor delen?
Nee. Vermenigvuldigen en delen zijn even belangrijk. Je rekent ze van links naar rechts, in de volgorde waarin ze staan.
Waarom bestaat er een volgorde van bewerkingen?
Zodat iedereen bij dezelfde opgave dezelfde uitkomst krijgt. Zonder afspraak kan 2 + 3 × 4 zowel 20 als 14 zijn; met de afspraak is het altijd 14.