Agrandir ou réduire : de quoi parle-t-on ?
Agrandir une figure, c’est en dessiner une copie plus grande qui garde exactement la même forme. Réduire, c’est en dessiner une copie plus petite, toujours avec la même forme. Pour que la forme soit conservée, toutes les longueurs doivent être multipliées (ou divisées) par le même nombre, appelé coefficient d’agrandissement ou de réduction. Un rectangle de 3 cm sur 2 cm agrandi trois fois devient un rectangle de 9 cm sur 6 cm : chaque côté a été multiplié par 3. C’est une situation de proportionnalité. Lire aussi la proportionnalité.
Le piège de l’addition
L’erreur la plus fréquente consiste à ajouter la même longueur à chaque côté. Si l’on ajoute 2 cm aux côtés du rectangle de 3 cm sur 2 cm, on obtient 5 cm sur 4 cm. Ce rectangle n’a pas la même forme : le premier était une fois et demie plus long que large (3 ÷ 2 = 1,5), le second ne l’est plus que de 1,25 fois (5 ÷ 4). Il paraît plus « carré ». Pour garder la forme, il faut multiplier, pas ajouter. Montrer les deux rectangles côte à côte convainc vite les élèves.
Le coefficient
Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie toutes les longueurs. S’il est plus grand que 1, c’est un agrandissement (×2, ×3, ×1,5). S’il est plus petit que 1, c’est une réduction (×0,5, ce qui revient à diviser par 2). Pour trouver le coefficient, on divise une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure de départ : un côté de 4 cm devenu 6 cm donne 6 ÷ 4 = 1,5. On vérifie ensuite avec un autre côté : si le coefficient n’est pas le même, ce n’est pas un agrandissement.
Agrandir sur quadrillage
Le quadrillage est le meilleur outil pour débuter. On reproduit une figure dessinée sur quadrillage en multipliant chaque déplacement par le coefficient : un segment de 3 carreaux vers la droite devient 6 carreaux pour un agrandissement ×2, un segment de 2 carreaux vers le haut devient 4 carreaux. Les segments obliques se reproduisent en doublant les deux déplacements (horizontal et vertical). On peut aussi utiliser un quadrillage à carreaux deux fois plus grands et recopier la figure carreau par carreau. Lire aussi se repérer sur un quadrillage.
Ce qui change et ce qui ne change pas
Lors d’un agrandissement ou d’une réduction, les longueurs changent, toutes dans la même proportion. En revanche, les angles ne changent pas : un angle droit reste droit, un angle de 60° reste de 60°. Les droites parallèles restent parallèles, un carré reste un carré, un triangle équilatéral reste équilatéral. C’est ce qui permet de reconnaître que deux figures ont « la même forme ». On peut le vérifier avec une équerre ou un rapporteur sur les deux figures.
L’effet sur le périmètre
Le périmètre est une longueur : il est multiplié par le même coefficient que les côtés. Le rectangle de 3 cm sur 2 cm a un périmètre de 10 cm ; agrandi trois fois (9 cm sur 6 cm), son périmètre est de 30 cm, soit 10 × 3. C’est logique : si chaque morceau du contour est trois fois plus long, le tour entier l’est aussi. Lire aussi les exercices de périmètre et d’aire.
L’effet sur l’aire : la grande surprise
L’aire, elle, ne suit pas le même coefficient. Le rectangle de 3 cm sur 2 cm a une aire de 6 cm². Agrandi trois fois, il mesure 9 cm sur 6 cm, soit 54 cm² : l’aire a été multipliée par 9, c’est-à-dire 3 × 3. Pour un agrandissement ×2, l’aire est multipliée par 4. Les élèves peuvent le voir en découpant : dans un carré agrandi deux fois, on peut placer exactement quatre carrés de départ. Cette découverte surprend toujours et mérite d’être manipulée. Lire aussi la différence entre périmètre et aire.
Réduire une figure
Réduire fonctionne de la même manière, avec une division. Un rectangle de 10 cm sur 6 cm réduit de moitié devient un rectangle de 5 cm sur 3 cm. Son aire passe de 60 cm² à 15 cm² : elle est divisée par 4. Les réductions sont utiles pour faire tenir un grand dessin sur une petite feuille, comme un plan de la classe ou de la maison. On parle alors d’échelle : réduire une pièce de 5 m sur 4 m à l’échelle 1/100 donne un rectangle de 5 cm sur 4 cm. Lire aussi l’échelle et le plan.
Photocopies, écrans et maquettes
Les agrandissements et réductions sont partout. À la photocopieuse, 200 % signifie que les longueurs sont doublées, 50 % qu’elles sont divisées par deux. Quand on zoome sur une photo, on l’agrandit. Une petite voiture miniature au 1/43 est une réduction de la vraie voiture, tout comme une maquette de l’Atomium. Ces exemples concrets aident les élèves à comprendre l’intérêt de la notion et à donner du sens au coefficient.
Utiliser un tableau de proportionnalité
Pour ne pas se tromper, on peut ranger les longueurs dans un tableau : première ligne, les côtés de la figure de départ ; deuxième ligne, ceux de la figure agrandie. Si le tableau est un tableau de proportionnalité (on passe de la première à la deuxième ligne en multipliant toujours par le même nombre), c’est bien un agrandissement. Cette méthode est très utilisée au CEB. Lire aussi les exercices de proportionnalité.
Exercices corrigés
- Agrandis ×2 un rectangle de 4 cm sur 3 cm. Quelles sont ses nouvelles dimensions ?
- Un côté de 5 cm devient 15 cm. Quel est le coefficient ?
- Un rectangle de 3 cm sur 2 cm devient 5 cm sur 4 cm. Est-ce un agrandissement ?
- Un carré de 2 cm de côté est agrandi ×3. Que devient son aire ?
- Réduis de moitié un rectangle de 8 cm sur 6 cm.
Corrigé. 1. 8 cm sur 6 cm. 2. ×3. 3. Non : 3 ×? = 5 et 2 ×? = 4 ne donnent pas le même coefficient. 4. 4 cm² devient 36 cm² (×9). 5. 4 cm sur 3 cm.
Vérifiez toujours le coefficient sur au moins deux côtés.
Les erreurs fréquentes
Les erreurs habituelles sont : ajouter au lieu de multiplier, ne multiplier qu’un seul côté, penser que l’aire est multipliée par le même nombre que les côtés, et oublier que les angles restent identiques. Pour chacune, le retour au quadrillage et au découpage permet de voir l’erreur. Lire aussi les erreurs fréquentes en maths.
Activités pour la classe et la maison
Faites agrandir un petit personnage dessiné sur quadrillage : le résultat est spectaculaire et les erreurs se voient tout de suite (un bras trop court, une tête déformée). À la maison, comparez une photo et son agrandissement, mesurez les objets miniatures et cherchez leur échelle, ou réalisez une recette pour deux fois plus de personnes : c’est le même raisonnement multiplicatif. Les élèves aiment aussi agrandir leur prénom en lettres géantes sur quadrillage.
En résumé
Agrandir ou réduire une figure, c’est multiplier toutes ses longueurs par le même coefficient. La forme et les angles sont conservés, le périmètre est multiplié par le coefficient, l’aire par le coefficient multiplié par lui-même. Le quadrillage, le tableau de proportionnalité et les exemples concrets (photocopie, maquettes, plans) rendent cette notion claire.
Questions fréquentes
Comment agrandir une figure ?
En multipliant toutes ses longueurs par le même nombre, le coefficient d’agrandissement.
Pourquoi ne peut-on pas ajouter la même longueur à chaque côté ?
Parce que la forme change : seuls les rapports entre les côtés conservés par une multiplication gardent la même forme.
Les angles changent-ils lors d’un agrandissement ?
Non, les angles restent identiques ; seules les longueurs changent.
Que devient l’aire si on agrandit ×2 ?
Elle est multipliée par 4, car 2 × 2 = 4.
Que signifie une photocopie à 50 % ?
Que toutes les longueurs sont divisées par deux : c’est une réduction de coefficient 0,5.