Vergroten of verkleinen: wat betekent dat?
Een figuur vergroten is een grotere kopie tekenen die precies dezelfde vorm heeft. Verkleinen is een kleinere kopie tekenen, ook met dezelfde vorm. Om de vorm te behouden moeten alle lengtes met hetzelfde getal vermenigvuldigd (of erdoor gedeeld) worden: de vergrotingsfactor of verkleiningsfactor. Een rechthoek van 3 cm op 2 cm die drie keer vergroot wordt, wordt een rechthoek van 9 cm op 6 cm: elke zijde is vermenigvuldigd met 3. Dat is een situatie van evenredigheid. Lees ook evenredigheid.
De valkuil van optellen
De meest gemaakte fout is bij elke zijde dezelfde lengte optellen. Tel je 2 cm op bij de zijden van de rechthoek van 3 cm op 2 cm, dan krijg je 5 cm op 4 cm. Die rechthoek heeft niet dezelfde vorm: de eerste was anderhalve keer zo lang als breed (3 : 2 = 1,5), de tweede nog maar 1,25 keer (5 : 4). Hij lijkt meer op een vierkant. Om de vorm te behouden moet je vermenigvuldigen, niet optellen. Beide rechthoeken naast elkaar tonen overtuigt leerlingen snel.
De vergrotingsfactor
De factor is het getal waarmee je alle lengtes vermenigvuldigt. Is hij groter dan 1, dan vergroot je (×2, ×3, ×1,5). Is hij kleiner dan 1, dan verklein je (×0,5, wat neerkomt op delen door 2). Om de factor te vinden deel je een lengte van de nieuwe figuur door de overeenkomstige lengte van de oorspronkelijke figuur: een zijde van 4 cm die 6 cm wordt, geeft 6 : 4 = 1,5. Controleer daarna met een andere zijde: is de factor niet dezelfde, dan is het geen vergroting.
Vergroten op ruitjespapier
Ruitjespapier is het beste hulpmiddel om te beginnen. Je tekent een figuur na door elke verplaatsing met de factor te vermenigvuldigen: een lijnstuk van 3 hokjes naar rechts wordt 6 hokjes bij een vergroting ×2, een lijnstuk van 2 hokjes naar boven wordt 4 hokjes. Schuine lijnstukken teken je door beide verplaatsingen (horizontaal en verticaal) te verdubbelen. Je kunt ook ruitjespapier met twee keer zo grote hokjes gebruiken en de figuur hokje per hokje overnemen. Lees ook plaatsbepaling in een rooster.
Wat verandert en wat blijft
Bij een vergroting of verkleining veranderen de lengtes, allemaal in dezelfde verhouding. De hoeken veranderen niet: een rechte hoek blijft recht, een hoek van 60° blijft 60°. Evenwijdige rechten blijven evenwijdig, een vierkant blijft een vierkant, een gelijkzijdige driehoek blijft gelijkzijdig. Daardoor kun je zien dat twee figuren “dezelfde vorm” hebben. Je kunt het met een geodriehoek op beide figuren controleren.
Het effect op de omtrek
De omtrek is een lengte: die wordt met dezelfde factor vermenigvuldigd als de zijden. De rechthoek van 3 cm op 2 cm heeft een omtrek van 10 cm; drie keer vergroot (9 cm op 6 cm) is de omtrek 30 cm, dus 10 × 3. Dat is logisch: als elk stukje van de rand drie keer zo lang is, is de hele rand dat ook. Lees ook omtrek en oppervlakte.
Het effect op de oppervlakte: de grote verrassing
De oppervlakte volgt niet dezelfde factor. De rechthoek van 3 cm op 2 cm heeft een oppervlakte van 6 cm². Drie keer vergroot is hij 9 cm op 6 cm, dus 54 cm²: de oppervlakte is vermenigvuldigd met 9, dat is 3 × 3. Bij een vergroting ×2 wordt de oppervlakte met 4 vermenigvuldigd. Leerlingen kunnen het zien door te knippen: in een twee keer vergroot vierkant passen precies vier oorspronkelijke vierkanten. Die ontdekking verrast altijd en verdient het om met materiaal te werken. Lees ook het verschil tussen omtrek en oppervlakte.
Een figuur verkleinen
Verkleinen werkt op dezelfde manier, met een deling. Een rechthoek van 10 cm op 6 cm die gehalveerd wordt, wordt een rechthoek van 5 cm op 3 cm. De oppervlakte gaat van 60 cm² naar 15 cm²: ze wordt door 4 gedeeld. Verkleiningen zijn nuttig om een grote tekening op een klein blad te krijgen, zoals een plattegrond van de klas of het huis. Dan spreek je van schaal: een kamer van 5 m op 4 m op schaal 1/100 wordt een rechthoek van 5 cm op 4 cm. Lees ook schaal en plattegrond.
Kopieën, schermen en maquettes
Vergroten en verkleinen zie je overal. Op het kopieertoestel betekent 200% dat de lengtes verdubbeld worden, 50% dat ze gehalveerd worden. Als je inzoomt op een foto, vergroot je die. Een miniatuurauto op schaal 1/43 is een verkleining van de echte auto, net als een maquette van het Atomium. Die concrete voorbeelden helpen leerlingen het nut van het onderwerp te begrijpen en de factor betekenis te geven.
Een verhoudingstabel gebruiken
Om je niet te vergissen kun je de lengtes in een tabel zetten: op de eerste rij de zijden van de oorspronkelijke figuur, op de tweede rij die van de vergrote figuur. Is het een verhoudingstabel (je gaat van de eerste naar de tweede rij door altijd met hetzelfde getal te vermenigvuldigen), dan is het een echte vergroting. Die werkwijze wordt veel gebruikt in de derde graad. Lees ook de regel van drie.
Oefeningen met oplossingen
- Vergroot ×2 een rechthoek van 4 cm op 3 cm. Wat zijn de nieuwe afmetingen?
- Een zijde van 5 cm wordt 15 cm. Wat is de factor?
- Een rechthoek van 3 cm op 2 cm wordt 5 cm op 4 cm. Is dat een vergroting?
- Een vierkant met zijde 2 cm wordt ×3 vergroot. Wat wordt de oppervlakte?
- Halveer een rechthoek van 8 cm op 6 cm.
Oplossingen. 1. 8 cm op 6 cm. 2. ×3. 3. Nee: 3 ×? = 5 en 2 ×? = 4 geven niet dezelfde factor. 4. 4 cm² wordt 36 cm² (×9). 5. 4 cm op 3 cm.
Controleer de factor altijd op minstens twee zijden.
Veelgemaakte fouten
De gewone fouten zijn: optellen in plaats van vermenigvuldigen, maar één zijde vermenigvuldigen, denken dat de oppervlakte met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt als de zijden, en vergeten dat de hoeken gelijk blijven. Bij elk daarvan maakt teruggaan naar ruitjespapier en knippen de fout zichtbaar.
Activiteiten voor de klas en thuis
Laat een klein figuurtje op ruitjespapier vergroten: het resultaat is spectaculair en fouten zie je meteen (een te korte arm, een vervormd hoofd). Thuis kun je een foto met zijn vergroting vergelijken, miniatuurvoorwerpen meten en hun schaal zoeken, of een recept voor twee keer zoveel personen maken: dat is dezelfde vermenigvuldigende redenering. Leerlingen vinden het ook leuk om hun naam in reuzenletters op ruitjespapier te vergroten.
Samengevat
Een figuur vergroten of verkleinen is al zijn lengtes met dezelfde factor vermenigvuldigen. De vorm en de hoeken blijven, de omtrek wordt met de factor vermenigvuldigd, de oppervlakte met de factor maal zichzelf. Ruitjespapier, de verhoudingstabel en concrete voorbeelden (kopieën, maquettes, plattegronden) maken het onderwerp duidelijk.
Veelgestelde vragen
Hoe vergroot je een figuur?
Door al zijn lengtes met hetzelfde getal te vermenigvuldigen, de vergrotingsfactor.
Waarom mag je niet bij elke zijde hetzelfde optellen?
Omdat de vorm dan verandert: alleen vermenigvuldigen behoudt de verhoudingen tussen de zijden.
Veranderen de hoeken bij een vergroting?
Nee, de hoeken blijven gelijk; alleen de lengtes veranderen.
Wat wordt de oppervlakte bij een vergroting ×2?
Die wordt met 4 vermenigvuldigd, want 2 × 2 = 4.
Wat betekent een kopie op 50%?
Dat alle lengtes gehalveerd worden: een verkleining met factor 0,5.