Evenredigheid en de regel van drie

Wat is evenredigheid?

Twee grootheden zijn recht evenredig als ze samen in dezelfde verhouding veranderen. Koop je 2 keer zoveel brood, dan betaal je 2 keer zoveel. Koop je de helft, dan betaal je de helft. Dat geldt voor prijzen, recepten, afstanden op een kaart en snelheid.

Niet alles is evenredig. Een kind van 5 jaar is niet half zo groot als een kind van 10 jaar. Leren herkennen wanneer iets wél evenredig is, hoort er dus ook bij.

De verhoudingstabel

Een verhoudingstabel zet de gegevens overzichtelijk naast elkaar. Voorbeeld: 3 schriften kosten 6 euro.

Wat je met het bovenste getal doet, doe je ook met het onderste: delen door 3 geeft 1 schrift voor 2 euro, maal 5 geeft 5 schriften voor 10 euro.

De regel van drie

De regel van drie werkt altijd in drie stappen, via de eenheid.

1. Wat weet je? 4 kg appels kost 10 euro.
2. Reken terug naar 1. 1 kg kost 10 : 4 = 2,50 euro.
3. Reken naar wat gevraagd is. 6 kg kost 6 × 2,50 = 15 euro.

Soms gaat het sneller zonder via 1 te rekenen: van 4 kg naar 6 kg is anderhalve keer zoveel, dus 10 × 1,5 = 15 euro. Beide wegen geven hetzelfde antwoord.

Uitgewerkte voorbeelden

Een recept aanpassen

Voor 4 personen heb je 200 g bloem nodig. Voor 6 personen? Voor 1 persoon: 50 g. Voor 6 personen: 300 g.

Afstand en tijd

Een fietser rijdt aan een vast tempo 15 km in 1 uur. Hoe ver in 20 minuten? 20 minuten is een derde van een uur, dus 15 : 3 = 5 km.

Herkennen wat niet evenredig is

Een taxi rekent 5 euro instap plus 2 euro per km. Voor 10 km betaal je 25 euro, voor 20 km 45 euro, niet het dubbele. Door de vaste instapprijs is dit niet recht evenredig.

Veelgemaakte fouten

• Optellen in plaats van vermenigvuldigen: van 4 naar 6 personen "2 erbij", dus ook 2 g bloem erbij.
• De regel van drie toepassen op iets wat niet evenredig is, zoals de taxi of leeftijd en lengte.
• Grootheden door elkaar halen in de tabel. Schrijf de eenheid altijd vooraan in elke rij.

Evenredigheid in het dagelijks leven

Laat je kind evenredigheid ontdekken in de supermarkt (prijs per kg), in de keuken (recepten) of op een kaart (schaal). Ook procenten berekenen is een vorm van evenredigheid: 25 % van een bedrag is een kwart ervan.

Oefeningen met oplossingen

1. 5 pennen kosten 4 euro. Wat kosten 15 pennen?
2. Een auto verbruikt 6 liter per 100 km. Hoeveel liter voor 250 km?
3. Voor 3 pannenkoeken heb je 1 ei nodig. Hoeveel eieren voor 12 pannenkoeken?
4. Een kraan vult 8 liter in 2 minuten. Hoelang duurt het om 30 liter te vullen?
5. Een foto van 10 cm breed wordt vergroot tot 25 cm breed. De hoogte was 8 cm. Hoe hoog wordt de vergroting?

Oplossingen. 1. Drie keer zoveel: 12 euro. 2. 6 × 2,5 = 15 liter. 3. 4 eieren. 4. 4 liter per minuut, dus 30 : 4 = 7,5 minuten. 5. 2,5 keer zo groot: 8 × 2,5 = 20 cm.

Schaal als evenredigheid

Op een kaart of plattegrond is alles evenredig verkleind. Een schaal van 1 : 100 betekent dat 1 cm op de tekening 100 cm, dus 1 m, in werkelijkheid is. Meet je op de plattegrond 7 cm, dan is de echte afstand 7 m. Bij een wandelkaart met schaal 1 : 25 000 staat 1 cm voor 250 m. Dezelfde verhoudingstabel helpt om tussen kaart en werkelijkheid te rekenen: wat je met het ene getal doet, doe je met het andere.

Omgekeerd evenredig

Soms worden grootheden net kleiner als de andere groter wordt. Met 2 schilders duurt een klus 6 dagen, met 4 schilders 3 dagen. Dat heet omgekeerd evenredig: twee keer zoveel schilders, de helft van de tijd. In het lager onderwijs komt dit slechts kort aan bod, maar het is nuttig om het verschil te zien. De regel van drie werkt hier niet op de gewone manier: je mag niet "ook verdubbelen".

De leerlijn naar het secundair

Evenredigheid is een sleutelbegrip voor later. In het secundair onderwijs komen procenten, schaal, snelheid, dichtheid en lineaire verbanden aan bod, en ze bouwen allemaal voort op de verhoudingstabel. Een leerling die in het 6e leerjaar vlot met verhoudingen redeneert, heeft een stevige basis. Daarom loont het om niet alleen de regel van drie te oefenen, maar ook te laten uitleggen waarom ze werkt.

Tips voor ouders en leerkrachten

Voor ouders: koken is evenredigheid in de praktijk. Laat je kind een recept voor 4 personen omrekenen naar 6 of naar 2. In de winkel kun je de prijs per kilo vergelijken: is het grote pak echt voordeliger?

Voor leerkrachten: laat leerlingen zelf vraagstukken bedenken bij een verhoudingstabel. Wie een goed vraagstuk kan maken, begrijpt het verband. Bespreek ook bewust situaties die níet evenredig zijn, zoals een taxirit met instapprijs of de groei van een kind, zodat leerlingen de regel van drie niet blind toepassen.

Een vraagstuk uitgewerkt

"Voor een schoolfeest maakt de klas limonade. Voor 6 glazen gebruik je 1 liter water en 2 dl siroop. Er komen 45 kinderen, elk één glas. Hoeveel water en siroop heb je nodig?"

Van 6 naar 3 is delen door 2, van 3 naar 45 is maal 15. Antwoord: 7,5 liter water en 15 dl, dus 1,5 liter siroop.

Snelheid als evenredigheid

Wie aan een constante snelheid rijdt, legt in dubbel zoveel tijd dubbel zoveel afstand af. Een trein die 120 km per uur rijdt, legt in een halfuur 60 km af en in 15 minuten 30 km. Een verhoudingstabel met tijd en afstand maakt dat overzichtelijk. In het echte verkeer is de snelheid natuurlijk niet constant, en dat is een mooi gespreksonderwerp: wanneer is een evenredig model een goede benadering, en wanneer niet?

Werkbladen, spel en DYS-versie

Oefen met de werkbladen evenredigheid, met een les, drie niveaus en de oplossingen, en het spel evenredigheid. De DYS-versie werkt met een vaste verhoudingstabel als steun.

Veelgestelde vragen

Wat is de regel van drie?

Een methode in drie stappen: wat je weet, terugrekenen naar 1, en dan naar wat gevraagd is. 4 kg kost 10 euro, 1 kg kost 2,50 euro, 6 kg kost 15 euro.

Wanneer zijn twee grootheden recht evenredig?

Als ze samen in dezelfde verhouding veranderen: twee keer zoveel van het ene geeft twee keer zoveel van het andere.

In welk leerjaar leer je evenredigheid?

Evenredigheid en de regel van drie komen meestal aan bod in het 6e leerjaar.

Wat betekent schaal 1 : 100?

1 cm op de tekening is 100 cm, dus 1 m, in werkelijkheid.

Wat is omgekeerd evenredig?

Als de ene grootheid groter wordt en de andere in dezelfde verhouding kleiner, zoals meer schilders en minder werkdagen.

Hoe controleer je een antwoord bij de regel van drie?

Kijk of de verhouding klopt: wordt het ene getal drie keer zo groot, dan moet het andere ook drie keer zo groot worden.

Is procenten berekenen ook evenredigheid?

Ja. 25 % van een bedrag is een kwart ervan; als het bedrag verdubbelt, verdubbelt ook die 25 %.