Wat is het gemiddelde?
Het gemiddelde is het getal dat je krijgt als je alles eerlijk verdeelt. Stel: drie kinderen hebben 4, 7 en 10 knikkers. Als ze alles samenleggen en gelijk verdelen, krijgt elk kind 7 knikkers. Het gemiddelde is 7.
Het gemiddelde komt in het 5e leerjaar aan bod, bij gegevensverwerking. Je gebruikt het om een groep getallen samen te vatten in één getal.
Het gemiddelde berekenen in twee stappen
- Tel alle getallen op. 4 + 7 + 10 = 21
- Deel door het aantal getallen. Er zijn 3 getallen, dus 21 : 3 = 7
Onthoud: gemiddelde = som van alle getallen : aantal getallen.
Uitgewerkte voorbeelden
Voorbeeld 1: punten op toetsen
Lina haalde 14, 16, 12 en 18 op 20. Som: 14 + 16 + 12 + 18 = 60. Aantal toetsen: 4. Gemiddelde: 60 : 4 = 15 op 20.
Voorbeeld 2: temperaturen
Op vijf dagen was het 12, 15, 11, 14 en 13 graden. Som: 65. Gemiddelde: 65 : 5 = 13 graden.
Voorbeeld 3: een kommagetal als uitkomst
Noé loopt 3 km, 4 km en 4 km. Som: 11 km. Gemiddelde: 11 : 3 = 3,67 km (afgerond). Het gemiddelde hoeft dus geen getal uit de reeks te zijn en kan een kommagetal zijn.
Een snelle controle
Het gemiddelde ligt altijd tussen het kleinste en het grootste getal. Bij 12, 15, 11, 14 en 13 moet het gemiddelde dus tussen 11 en 15 liggen. Kom je 65 uit, dan ben je vergeten te delen. Kom je 2 uit, dan is er iets misgelopen bij het optellen. Deze controle vangt de meeste fouten op.
Veelgemaakte fouten
- Vergeten te delen: de som noteren als gemiddelde.
- Delen door het verkeerde aantal: vooral bij een nul in de reeks. Haalt iemand 0, 8 en 10, dan deel je door 3, niet door 2. Die 0 telt mee.
- Een getal overslaan bij het optellen in een lange tabel. Vink elk getal af.
Oefeningen met oplossingen
- Bereken het gemiddelde van 6, 9 en 12.
- Een voetbalploeg scoorde 2, 0, 3, 1 en 4 doelpunten. Hoeveel gemiddeld per match?
- Vier kinderen wegen 32 kg, 35 kg, 29 kg en 36 kg. Wat is het gemiddelde gewicht?
- Het gemiddelde van drie getallen is 10. Twee getallen zijn 8 en 9. Wat is het derde?
- Lena leest maandag 20, dinsdag 15, woensdag 40 en donderdag 25 bladzijden. Hoeveel bladzijden leest ze gemiddeld per dag?
Oplossingen. 1. 27 : 3 = 9. 2. 10 : 5 = 2 doelpunten. 3. 132 : 4 = 33 kg. 4. Samen moeten ze 3 × 10 = 30 zijn, dus 30 − 8 − 9 = 13. 5. 100 : 4 = 25 bladzijden.
Het gemiddelde terugrekenen
Oefening 4 hierboven toont een handige omgekeerde redenering. Ken je het gemiddelde en het aantal getallen, dan ken je ook de som: gemiddelde × aantal. Dat helpt bij vragen zoals: "Lina haalde gemiddeld 15 op 20 op vier toetsen. Welk punt moet ze op de vijfde toets halen om gemiddeld 16 te hebben?" Na vier toetsen heeft ze 60 punten. Voor een gemiddelde van 16 op vijf toetsen heeft ze 80 nodig. Ze moet dus 20 op 20 halen.
Zulke vraagstukken komen geregeld voor in het 6e leerjaar en in toetsen. Ze vragen inzicht in wat het gemiddelde betekent, niet alleen de formule.
Het gemiddelde in een tabel of grafiek
Gegevens staan vaak in een tabel of staafdiagram. Lees eerst alle waarden af en noteer ze, en reken daarna pas het gemiddelde uit. Bij een staafdiagram kun je het gemiddelde ook tekenen als een horizontale lijn: de staven die erboven uitsteken, vullen precies de staven aan die eronder blijven. Dat beeld maakt het begrip "eerlijk verdelen" zichtbaar.
Tips voor ouders
Het gemiddelde zit in veel dagelijkse situaties: het gemiddelde verbruik van de auto, de gemiddelde temperatuur op vakantie, het gemiddelde punt op het rapport. Bespreek zulke getallen met je kind en vraag hoe je ze zou kunnen berekenen. Een rapport met punten per vak is een uitstekend, herkenbaar oefenmateriaal.
Tips voor leerkrachten
Laat leerlingen het gemiddelde eerst concreet maken met blokjes: bouw torens van 3, 5 en 7 blokjes en maak ze even hoog door blokjes te verplaatsen. Alle torens worden 5 hoog. Pas daarna introduceer je de rekenwijze. Zo begrijpen leerlingen dat het gemiddelde geen gewoon getal uit de reeks is, maar het resultaat van eerlijk verdelen.
Verzamel echte klasgegevens, zoals het aantal broers en zussen of de reistijd naar school, en laat groepjes het gemiddelde berekenen en vergelijken.
Gemiddelde, mediaan en modus
In het lager onderwijs ligt de nadruk op het gemiddelde, maar sommige methodes tonen in het 6e leerjaar ook twee andere manieren om een reeks samen te vatten:
- De mediaan is het middelste getal als je de getallen van klein naar groot rangschikt. Bij 3, 5, 6, 9 en 20 is de mediaan 6.
- De modus is het getal dat het vaakst voorkomt. Bij 2, 4, 4, 5 en 7 is de modus 4.
Het gemiddelde van 3, 5, 6, 9 en 20 is 43 : 5 = 8,6. Dat is hoger dan de meeste getallen, omdat 20 de uitkomst omhoogtrekt. Zo leren kinderen dat één uitschieter het gemiddelde sterk kan beïnvloeden, terwijl de mediaan stabiel blijft.
Een vraagstuk stap voor stap
"Een klas houdt een week lang bij hoeveel flesjes plastic er in de afvalbak belanden: 12, 8, 15, 10 en 5. De school wil het gemiddelde verminderen tot 7 per dag. Hoeveel flesjes per dag minder is dat?"
- Som: 12 + 8 + 15 + 10 + 5 = 50.
- Gemiddelde: 50 : 5 = 10 flesjes per dag.
- Verschil met het doel: 10 − 7 = 3 flesjes per dag minder.
Laat het kind het antwoord in een zin schrijven en controleren of het logisch is: 10 ligt tussen 5 en 15, dus het gemiddelde klopt.
Het gemiddelde met een rekenmachine
Bij lange reeksen mag in de hogere leerjaren soms een rekenmachine gebruikt worden. Tel dan eerst alle getallen op, druk op het gelijkheidsteken en deel de uitkomst daarna door het aantal getallen. Wie alles in één keer intypt, zoals 12 + 8 + 15 : 3, krijgt een verkeerde uitkomst, omdat de rekenmachine eerst deelt. Een schatting vooraf blijft de beste controle.
Zo oefen je het gemiddelde
Laat je kind gegevens uit het eigen leven verzamelen: het aantal minuten lezen per dag, de temperatuur in de tuin of de punten van een gezelschapsspel. Een gemiddelde over echte gegevens blijft beter hangen.
Daarna oefent het met de werkbladen het gemiddelde (les, drie niveaus en oplossingen) en het spel gemiddelde. Voor kinderen met dyscalculie is er de DYS-versie, met kortere reeksen en een duidelijk stappenplan.
Veelgestelde vragen
Hoe bereken je het gemiddelde?
Tel alle getallen op en deel de som door het aantal getallen. Het gemiddelde van 4, 7 en 10 is 21 : 3 = 7.
In welk leerjaar leer je het gemiddelde berekenen?
Het gemiddelde komt meestal aan bod in het 5e leerjaar, bij gegevensverwerking.
Telt een nul mee bij het gemiddelde?
Ja. Een nul is een echt resultaat en telt mee in het aantal getallen waardoor je deelt.
Hoe vind je een ontbrekend getal als je het gemiddelde kent?
Vermenigvuldig het gemiddelde met het aantal getallen om de som te vinden, en trek de gekende getallen af.
Kan het gemiddelde groter zijn dan het grootste getal?
Nee. Het gemiddelde ligt altijd tussen het kleinste en het grootste getal.
Wat is het verschil tussen gemiddelde en mediaan?
Het gemiddelde is de som gedeeld door het aantal. De mediaan is het middelste getal na rangschikken. Een uitschieter beïnvloedt het gemiddelde veel meer dan de mediaan.
Moet je het gemiddelde afronden?
Dat hangt van de vraag af. Bij geld rond je af op cent, bij afstanden vaak op één of twee cijfers na de komma.