Wat is toeval?
Een situatie hangt af van toeval als je de uitkomst niet op voorhand kunt voorspellen: een muntstuk opgooien, een dobbelsteen werpen, blind een kaart of knikker trekken. Je weet niet wat eruit komt, maar je kunt nadenken over de kansen van elke uitkomst. Dat is het onderwerp van kansrekening. In de lagere school gaat het vooral om de woordenschat en eenvoudige proefjes, die de meer formele studie in het secundair voorbereiden.
Zeker, mogelijk, onmogelijk
De eerste stap is gebeurtenissen indelen. Een gebeurtenis is zeker als ze zeker gebeurt: “als ik een dobbelsteen gooi, krijg ik een getal van 1 tot 6”. Ze is onmogelijk als ze nooit kan gebeuren: “ik gooi 7 met een dobbelsteen”. Ze is mogelijk als ze kan gebeuren of niet: “ik gooi 4”. Zinnen uit het dagelijks leven laten indelen (“morgen sneeuwt het in augustus”, “morgen komt de zon op”) is een uitstekend vertrekpunt.
Meer of minder waarschijnlijk
Van de mogelijke gebeurtenissen zijn sommige waarschijnlijker dan andere. In een zakje met 4 groene knikkers en 1 gele is een groene trekken waarschijnlijker dan een gele. Je kunt gebeurtenissen op een schaal zetten van “onmogelijk” tot “zeker”, via “weinig waarschijnlijk”, “fifty-fifty” en “heel waarschijnlijk”. Die schaal helpt kinderen om hun redenering te verwoorden.
“Eén kans op…”
Je kunt een kans uitdrukken met een zin als “1 kans op 6”: bij een dobbelsteen heeft elke kant 1 kans op 6 om boven te komen. Bij een muntstuk heeft kop 1 kans op 2. In een zakje met 3 rode en 2 blauwe knikkers is een rode trekken 3 kansen op 5. In het 6e leerjaar kun je die kansen als breuk schrijven: 1/6, 1/2, 3/5. Lees ook breuken.
Proefjes om te begrijpen
Niets werkt beter dan proberen. Gooi een muntstuk 20 keer op en noteer de uitkomsten in een tabel: krijg je precies 10 keer kop? Zelden! Maar hoe meer je gooit, hoe dichter je bij de helft komt. Doe hetzelfde met een dobbelsteen (60 worpen in de klas, in groepjes) en maak een staafdiagram van de resultaten. Kinderen ontdekken dat toeval bij weinig worpen niet “regelmatig” is, maar bij veel worpen wel een trend volgt. Lees ook het staafdiagram.
De valkuil van “nu is het mijn beurt”
Veel kinderen (en volwassenen!) denken dat na drie keer munt zeker kop moet komen. Dat klopt niet: het muntstuk heeft geen geheugen, elke worp heeft altijd 1 kans op 2. En een 6 is niet moeilijker te gooien dan een 2: alle kanten van een eerlijke dobbelsteen hebben dezelfde kans. Over zulke misverstanden praten ontwikkelt kritisch denken.
Eerlijke spelletjes of niet?
Een spel is eerlijk als alle spelers evenveel kans hebben om te winnen. “Ik win als de dobbelsteen 1, 2 of 3 geeft, jij wint bij 4, 5 of 6” is eerlijk. “Ik win bij 1 tot 5, jij wint bij 6” is het niet. Kinderen eerlijke spelregels laten bedenken is een boeiende uitdaging.
Oefeningen 3e en 4e leerjaar
- Zeker, mogelijk of onmogelijk: “Ik trek een rode knikker uit een zakje met alleen blauwe knikkers.”
- Zeker, mogelijk of onmogelijk: “Ik gooi een even getal met een dobbelsteen.”
- In een zakje: 4 groene en 1 gele. Welke kleur heeft de meeste kans?
Oplossingen. 1. Onmogelijk. 2. Mogelijk. 3. Groen.
Oefeningen 5e en 6e leerjaar
- Hoeveel kansen op 6 heb je om een even getal te gooien?
- Een zakje bevat 3 rode en 2 blauwe knikkers. Wat is de kans op rood?
- Een rad heeft 8 gelijke vakken, waarvan 2 rode. Kans op rood?
- Is het spel “ik win bij 1 tot 5, jij wint bij 6” eerlijk?
Oplossingen. 1. 3 kansen op 6, dus 1 kans op 2. 2. 3 kansen op 5 (3/5). 3. 2 op 8, dus 1 kans op 4. 4. Nee: 5 kansen tegen 1.
Veelgemaakte fouten
- “Mogelijk” en “waarschijnlijk” verwarren.
- Denken dat een uitkomst “moet” komen omdat ze lang niet gekomen is.
- Denken dat sommige kanten van de dobbelsteen moeilijker zijn.
- Vergeten alle mogelijke uitkomsten te tellen.
- Conclusies trekken na maar een paar pogingen.
Uitdaging voor sterke rekenaars
- Je gooit twee muntstukken op. Wat zijn alle mogelijke uitkomsten? Heb je meer kans op “twee keer munt” of op “één kop en één munt”?
Oplossingen. Uitkomsten: KK, KM, MK, MM. “Eén kop en één munt” (2 op 4) is waarschijnlijker dan “twee keer munt” (1 op 4).
Wist je dat?
Kansrekening ontstond in de 17e eeuw, toen wiskundigen als Pascal en Fermat dobbelspelen bestudeerden. Vandaag dient ze overal: weersvoorspellingen (“70 % kans op regen”), verzekeringen, geneeskunde, videospelletjes.
Wat kunnen ouders doen?
Gezelschapsspellen zijn ideaal: “Hoeveel kans heb je om een 6 te gooien om je pion op te zetten?” Bekijk samen het weerbericht en praat over de kans op regen. Doe kleine proefjes met een muntstuk of dobbelsteen en noteer de resultaten. Toeval wordt zo een boeiend gespreksonderwerp.
Samengevat
Een gebeurtenis kan zeker, mogelijk of onmogelijk zijn; van de mogelijke zijn sommige waarschijnlijker; je drukt kansen uit met “1 kans op 6” of een breuk; en toeval heeft geen geheugen.
Proefjes in de klas
Een eenvoudig proefje: elke leerling gooit 10 keer met een dobbelsteen en noteert de resultaten. Daarna verzamel je de resultaten van de hele klas (bijvoorbeeld 250 worpen) in een grote tabel. Elk getal komt ongeveer 40 keer voor: bij veel pogingen “vereffent” het toeval zich. Die gezamenlijke ontdekking maakt veel indruk.
Een laatste tip
Laat altijd eerst raden voor je het proefje doet: voorspelling en resultaat vergelijken is de kern van het denken over kansen.
Kansen in het verkeer en de natuur
Ook buiten spelletjes speelt toeval: de kans dat het regent, dat een zaadje kiemt, dat een vogel op het voederhuisje komt. Praat er samen over en schat de kans in met de schaal van onmogelijk tot zeker.
Extra oefeningen
- Je trekt een kaart uit 4 kaarten: aas, heer, vrouw, boer. Kans op de heer?
- Een doos bevat 10 fiches, waarvan 7 blauwe. Is een blauwe of een andere fiche waarschijnlijker?
Oplossingen. 1. 1 kans op 4. 2. Een blauwe (7 kansen op 10).
Tot slot
Toeval ontdek je door te spelen: dobbelstenen, munten en kaarten zijn de beste hulpmiddelen om over kansen te leren.
Een laatste weetje
Bij loterijen is de kans om te winnen heel klein.
Meer lezen
Lees ook het gemiddelde berekenen, tabellen en grafieken lezen en breuken.
Veelgestelde vragen
Wat is een onmogelijke gebeurtenis?
Een gebeurtenis die nooit kan gebeuren, zoals 7 gooien met een dobbelsteen met zes kanten.
Hoeveel kans heb je om 6 te gooien?
1 kans op 6.
Is kop waarschijnlijker na drie keer munt?
Nee: elke worp heeft altijd 1 kans op 2, het muntstuk heeft geen geheugen.
Wat is een eerlijk spel?
Een spel waarin alle spelers evenveel kans hebben om te winnen.
Staat kansrekening op het programma van de lagere school?
De woordenschat en eenvoudige proefjes komen aan bod, vooral op het einde; de formele studie volgt in het secundair.
Hoe schrijf je een kans?
Met een zin (“3 kansen op 5”) of een breuk (3/5).
Heeft toeval een geheugen?
Nee: elke worp staat los van de vorige.
Is een 6 moeilijker te gooien?
Nee: bij een eerlijke dobbelsteen heeft elke kant 1 kans op 6.